Question

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心．一個(gè)三角形有且只有一個(gè)重心．可以證明三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．
可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質(zhì)知識(shí)解答下列問題：
如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE=AD=4
（1）猜想AG與GD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求△ABC的三邊長．

Answer 1

解：（1）解法1：AG=GD
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD，AB=BD；
解法2：AG=GD．
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD…

（2）解法1：如圖一，延長BA到F，使AF=BA，則△BFC是等腰三角形
∵AD是BC的中線，
∴AD是△BFC的一條中位線，
延長BE交CF于H點(diǎn)，則BH垂直平分FC，
∴E是△BFC的重心，
∴AE=EC，EH=BE=×4=2，
∵HC=FC=AD=4，
∴在Rt△BHC中，BC==2
AB=BD=BC=…
∵在Rt△EHC中，EC===2，
∴AC=AE+EC=3．
解法2：如圖二，從點(diǎn)C作CH∥AD與BE的延長線交于H
∵GD∥HC，
∴△BGD∽△BHC
∴===，
∴D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，也是BH的中點(diǎn)
∵GD=2
∴HC=4，BG=GH
設(shè)BG=x，則GE=4-x，EH=2x-4
∵AG∥HC
∴△AGE∽△CHE
∴==，即=，
解出x=3…
∴在Rt△BHC中，BC===2
AB=BD=BC=，…
∵GE=1，EH=2，
∴在Rt△AGE中，AE===，
∵EC=2AE=
∴AC=3．
分析：（1）根據(jù)BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根據(jù)全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
（2）延長BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中線，可知AD是△BFC的一條中位線，延長BE交CF于H點(diǎn)，則BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性質(zhì)可求出AE、EH、HC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC、EC的長，進(jìn)而可得出AC的長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．