Question

如圖，拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于A、B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，求k的值．
（3）設(shè)（2）中直線y=kx-1（k≠0）分別交x軸、y軸于E、F，在拋物線上是否存在點P，使得△AEF與△PEF面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)求出點B、D的坐標(biāo)，可知四邊形ABCD是等腰梯形，再根據(jù)二等分梯形面積的直線必過連接兩底邊中點的線段的中點，然后求出中點的坐標(biāo)，代入直線即可求出k值；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點P在到EF的距離等于點A到EF距離相等的直線上，然后求出點P所在的直線，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2），
∴

a+3a+b=0 9a-3×3a+b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）令x=0，則y=2，；
令y=0，則-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4，
所以，點D（0，2），點B（4，0），
∵A（-1，0），C（3，2），
∴AB∥CD，且AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
連接兩底邊中點的線段的中點坐標(biāo)為（

3

2

，1），
∵直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，
∴直線必過點（

3

2

，1），
∴

3

2

k-1=1，
解得k=

4

3

；

（3）存在．理由如下：
由（2）得，直線解析式為y=

4

3

x-1，
令y=0，則

4

3

x-1=0，解得x=

3

4

，
所以，點E（

3

4

，0），
∵△AEF與△PEF面積相等，
∴點P在過點A且與直線EF平行的直線上，或在過點A關(guān)于點E的對稱點且與直線EF平行的直線上，
①點P在過點A且與直線EF平行的直線上時，設(shè)直線的解析式為y=

4

3

x+b₁，
則

4

3

×（-1）+b₁=0，
解得b₁=

4

3

，
所以，直線的解析式為y=

4

3

x+

4

3

，
聯(lián)立

y= 4 3 x+ 4 3 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
解得

x1=-1 y1=0

（舍去），

x2= 4 3 y2= 28 9

，
此時，點P的坐標(biāo)為（

4

3

，

28

9

），
②∵

3

4

×2-（-1）=

5

2

，
∴點P關(guān)于點E的對稱點A′為（

5

2

，0），
設(shè)直線的解析式為y=

4

3

x+b₂，
則

4

3

×

5

2

+b₂=0，
解得b₂=-

10

3

，
所以，直線解析式為y=

4

3

x-

10

3

，
聯(lián)立

y= 4 3 x- 10 3 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
解得

x1= 1+ 385 6 y1= -28+ 385 9

，

x2= 1- 385 6 y2= -28- 385 9

，
∴點P的坐標(biāo)為（

1+ 385

6

，

-28+ 385

9

）或（

1- 385

6

，

-28- 385

9

），
綜上所述，拋物線上存在點P（

4

3

，

28

9

）或（

1+ 385

6

，

-28+ 385

9

）或（

1- 385

6

，

-28- 385

9

），使得△AEF與△PEF面積相等．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點的求解，等底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)，（2）明確二等分梯形的直線必過連接兩底邊中點的線段的中點是解題的關(guān)鍵，也是求解本題的突破口．