Question

已知點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）為拋物線y=ax²+bx+c上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)B、D，交直線y=2ax+b于點(diǎn)A、C，設(shè)S為直線AB、CD與x軸、直線y=2ax+b所圍成圖形的面積．
（1）當(dāng)a=1，b=-2，c=3時(shí)，計(jì)算：①當(dāng)x₁=3，x₂=5時(shí)，求y₁、y₂、S；②當(dāng)x₁=-2，x₂=-1時(shí)，求y₁、y₂、S；通過(guò)以上的計(jì)算，猜想S與y₁-y₂的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c在x軸上方，且點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)）時(shí)（如圖1），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明你的判斷．
（3）如果將（2）中的“同側(cè)”改為“異側(cè)”（如圖2），其他條件不變，并設(shè)M為直線y=2ax+b與x軸的交點(diǎn)，S₁=S_△AMB，S₂=S_△CMD，求S₁、S₂與y₁、y₂的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）把a(bǔ)、b、c的值代入得到拋物線解析式，然后求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸解析式，把a(bǔ)、b的值代入直線求出直線解析式，①把x₁、x₂的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求出y₁、y₂的值，再根據(jù)點(diǎn)E、F在對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)，四邊形ABCD是梯形，然后利用直線解析式求出AB、CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)梯形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求出S；②方法與①相同；然后根據(jù)所求數(shù)據(jù)即可得到數(shù)量關(guān)系；
（2）把點(diǎn)E、F坐標(biāo)代入拋物線求出y₁、y₂，再根據(jù)直線解析式求出AB、CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)點(diǎn)E、F在對(duì)稱(chēng)軸同一側(cè)，四邊形ABCD是梯形，根據(jù)梯形的面積公式列式計(jì)算求出S，即可得解；
（3）同（2）求出y₁、y₂，然后根據(jù)點(diǎn)E、F在對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)，分別求出S₁，S₂，根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=-2，c=3時(shí)，拋物線解析式為y=x²-2x+3，
對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
直線AC的解析式為y=2x-2，
①當(dāng)x₁=3，x₂=5時(shí)，y₁=3²-2×3+3=9-6+3=6，
y₂=5²-2×5+3=25-10+3=18，
AB=2×3-2=6-2=4，
CD=2×5-2=10-2=8，
S=

1

2

（4+8）×（5-3）=

1

2

×12×2=12；
②當(dāng)x₁=-2，x₂=-1時(shí)，y₁=（-2）²-2×（-2）+3=4+4+3=11，
y₂=（-1）²-2×（-1）+3=1+2+3=6，
AB=|2×（-2）-2|=|-4-2|=6，
CD=|2×（-1）-2|=|-2-2|=4，
S=

1

2

（6+4）×[（-1）-（-2）]=

1

2

×10×1=5；
∵18-6=12，11-6=5，
∴點(diǎn)E、F都在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，S=y₁-y₂；
點(diǎn)E、F都在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，S=y₂-y₁；

（2）成立．理由如下：
由題意得，y₁=ax₁²+bx₁+c，
y₂=ax₂²+bx₂+c，
所以，y₂-y₁=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c），
=a（x₁+x₂）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，
所以，S=

1

2

[（2ax₁+b）+（2ax₂+b）]×（x₂-x₁），
=

1

2

[2a（x₁+x₂）+2b）]×（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
所以，S=y₂-y₁；

（3）由（2）得，y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∵直線AC的解析式為y=2ax+b，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

b

2a

，0），
∴S₁=S_△AMB=

1

2

[-（2ax₁+b）]×（-

b

2a

-x₁）=

1

4a

（2ax₁+b）²，
S₂=S_△CMD=

1

2

（2ax₂+b）×[x₂-（-

b

2a

）]=

1

4a

（2ax₂+b）²，
S₁-S₂=

1

4a

（2ax₁+b）²-

1

4a

（2ax₂+b）²，
=

1

4a

（2ax₁+b+2ax₂+b）（2ax₁+b-2ax₂-b），
=

1

4a

[2a（x₁+x₂）+2b]•2a（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∴S₁-S₂=y₁-y₂．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了拋物線上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，梯形的面積與三角形的面積，易錯(cuò)點(diǎn)在于要注意分點(diǎn)E、F都在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)與右側(cè)，以及兩側(cè)時(shí)的線段AB、CD的長(zhǎng)短不同，求面積時(shí)要進(jìn)行相應(yīng)的變化處理．