Question

（2007•益陽(yáng)）已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系xOy中畫出△ABC，設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請(qǐng)?jiān)赬軸上找出點(diǎn)E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫出E點(diǎn)坐標(biāo)，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且以CE所在直線為對(duì)稱軸的拋物線的頂點(diǎn)為F，求直線FA的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，從而OD平分∠ADB．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，E為垂足，根據(jù)AO=2=CE，AO⊥x軸，CE⊥x軸可知AO∥CE，所以四邊形AOCE是平行四邊形．
（3）設(shè)過(guò)A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，則利用待定系數(shù)法可解得直線AC的解析式為y=-x+2．所以拋物線過(guò)B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法可解拋物線解析式為，所以其頂點(diǎn)為．設(shè)經(jīng)過(guò)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，利用待定系數(shù)法可解得直線FA的解析式為．
解答：解：（1）畫圖如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
從而OD平分∠ADB．（3分）

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，E為垂足，則E（4，0），
使四邊形AOCE為平行四邊形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x軸，CE⊥x軸?AO∥CE，
∴四邊形AOCE是平行四邊形．（7分）

（3）設(shè)過(guò)A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，
則，
∴直線AC的解析式為y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐標(biāo)為（2，0）．（9分）
由于拋物線關(guān)于CE對(duì)稱，
故D關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)D′（6，0）也在拋物線上，
所以拋物線過(guò)B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有，
∴拋物線解析式為．
其頂點(diǎn)為．（12分）
設(shè)經(jīng)過(guò)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，
則，
∴直線FA的解析式為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行四邊形的判定和角平分線的性質(zhì)等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．