Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0）．將點(diǎn)P₀繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P₁，延長(zhǎng)OP₁到點(diǎn)P=2，使OP₂=2OP₁；再將點(diǎn)P₂繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P₃，延長(zhǎng)OP₃到點(diǎn)P₄，使OP₄=2OP₃；…如此繼續(xù)下去．求：（1）點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P₂₀₀₃的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)P₂的坐標(biāo)為（x，y），作P₂M⊥x軸，垂足為M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=，
∴P₂的坐標(biāo)為（，1）；

（2）按照這樣的變化規(guī)律，點(diǎn)P₂₃、P₂₄又回到了x軸的正半軸上，
∵2003=24×83+11，
∴點(diǎn)P₂₀₀₃落在x軸的負(fù)半軸上，
∵OP₃=OP₂=2，OP₅=OP₄=2²，OP₇=OP₆=2³，…
∴OP₂₀₀₃=OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，
∴點(diǎn)P₂₀₀₃的坐標(biāo)為（-2¹⁰⁰¹，0）．
分析：（1）做P₂⊥x軸于一點(diǎn)，利用30°的三角函數(shù)可求得P₂的橫縱坐標(biāo)．
（2）應(yīng)先找到各個(gè)點(diǎn)所在的象限或者坐標(biāo)軸的位置．相鄰的以奇數(shù)開(kāi)頭的兩個(gè)點(diǎn)在同一直線上，可得到24個(gè)點(diǎn)將轉(zhuǎn)一圈：即回到x軸．那么應(yīng)讓2003÷24=83…11可得所求的點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上．OP₂₀₀₃的長(zhǎng)度應(yīng)和OP₂₀₀₂的長(zhǎng)度相等．∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，∴OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，進(jìn)而可得點(diǎn)P₂₀₀₃的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)作圖，分析，觀察，得到相應(yīng)的規(guī)律．