Question

【題目】如圖①，△ABC，△CDE都是等邊三角形．

（1）寫(xiě)出AE與BD的大小關(guān)系.

（2）若把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，上述（1）的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）△ABC的邊長(zhǎng)為5，△CDE的邊長(zhǎng)為2，把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后回到圖①位置，求出線(xiàn)段AE長(zhǎng)的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE＝BD，理由見(jiàn)解析；（2）AE＝BD，理由見(jiàn)解析；（3）線(xiàn)段AE長(zhǎng)的最大值為7，最小值3．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS可證明△ACE≌△BCD，即可得AE=BD；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用角的和差關(guān)系可得∠ACE＝∠BCD，利用SAS可證明△ACE≌△BCD，可得AE=BD；

（3）利用三角形三邊關(guān)系即可得答案.

（1）AE＝BD，理由：

∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD.

（2）AE＝BD，理由：

∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD.

（3）∵△ABC的邊長(zhǎng)為5，△CDE的邊長(zhǎng)為2，

∴AC＝5，CE＝2，

在△ACE中，AC+CE＞AE，

∴當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AE達(dá)到最大，最大值為AE＝AC+CE＝5+2＝7，

在△ACE中，AC﹣CE＜AE，

∴當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，AE達(dá)到最小AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3，

即：線(xiàn)段AE長(zhǎng)的最大值為7，最小值3．