Question

如圖，△ABC中，∠CAB與∠CBA均為銳角，分別以CA、CB為邊向△ABC外側(cè)作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直線(xiàn)AB于D₁，F(xiàn)F₁⊥直線(xiàn)AB于F₁．
求證：（Ⅰ）DD₁+FF₁=AB；
（Ⅱ）線(xiàn)段AB的中點(diǎn)N也平分線(xiàn)段D₁F₁．

Answer 1

證明：（1）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE_1⁼90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB；

（2）設(shè)M為DF的中點(diǎn)，Q為D₁F₁的中點(diǎn)，
則：且MQ⊥AB，
當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴AB的中點(diǎn)N就是D₁E₁的中點(diǎn)．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H；再通過(guò)兩對(duì)全等三角形來(lái)證明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)等于兩底和的一半”，設(shè)M為DE的中點(diǎn)，Q為D₁E₁的中點(diǎn)，MQ=AB且MQ⊥AB，特殊地，當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．又因?yàn)榭勺C明D₁A=E₁B，所以AB的中點(diǎn)N就是D₁E₁的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．