【題目】如圖,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣3,0),B10),C0,3)三點(diǎn).

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)如圖1,P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn),若△PAC面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)如圖2,D為拋物線的頂點(diǎn),在線段AD上是否存在點(diǎn)M,使得以M,AO為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣23);(3)存在,()或(,),見(jiàn)解析.

【解析】

1)利用待定系數(shù)法,然后將A、BC的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式;
2))過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直x軸,交ACQ,把APC分成兩個(gè)APQCPQ,把PQ作為兩個(gè)三角形的底,通過(guò)點(diǎn)A,C的橫坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積.
3)通過(guò)三角形函數(shù)計(jì)算可得∠DAO=ACB,使得以M,AO為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,則有兩種情況,∠AOM=CAB=45°,即OMy=-x,若∠AOM=CBA,則OMy=-3x+3,然后由直線解析式可求OMAD的交點(diǎn)M

1)把A(﹣3,0),B1,0),C0,3)代入拋物線解析式yax2+bx+c

解得,

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x22x+3

2)如解(2)圖1,過(guò)P點(diǎn)作PQ平行y軸,交ACQ點(diǎn),

A(﹣3,0),C0,3),

∴直線AC解析式為yx+3,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x22x+3.),則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),

PQ=﹣x22x+3﹣(x+3)=﹣x23x

SPAC

,

解得:x1=﹣1,x2=﹣2

當(dāng)x=﹣1時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,4),

當(dāng)x=﹣2時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3),

綜上所述:若PAC面積為3,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3),

3)如解(3)圖1,過(guò)D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AE垂直BCE點(diǎn),

D為拋物線y=﹣x22x+3的頂點(diǎn),

D點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣14),

又∵A(﹣3,0),

∴直線ACy2x+4,AF2,DF4,tanPAB2,

B1,0),C0,3

tanABC3,BC,sinABC,直線BC解析式為y=﹣3x+3

AC4,

AEACsinABC,BE,

CE,

tanACB

tanACBtanPAB2,

∴∠ACB=∠PAB

∴使得以M,A,O為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,則有兩種情況,如解(3)圖2

.當(dāng)∠AOM=∠CAB45°時(shí),ABC∽△OMA,

OMy=﹣x

設(shè)OMAD的交點(diǎn)Mx,y

依題意得:

解得,

M點(diǎn)為(,).

.若∠AOM=∠CBA,即OMBC,

∵直線BC解析式為y=﹣3x+3

∴直線OMy=﹣3x,設(shè)直線OMAD的交點(diǎn)Mxy).則

依題意得:,

解得,

M點(diǎn)為(),

綜上所述:存在使得以M,A,O為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(,)或(,).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且OA⊥OB,cosA=,則k的值為( )

A. -3  B. -6  C. -4 D. -

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A.168B.1616C.128D.1612

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【題目】閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點(diǎn)Ax1y1),Bx2,y2)之間的位置關(guān)系有以下三種情形;

①如果ABx軸,則y1y2,AB=|x1x2|

②如果ABy軸,則x1x2,AB=|y1y2|

③如果ABx軸、y軸均不平行,如圖,過(guò)點(diǎn)A作與x軸的平行線與過(guò)點(diǎn)B作與y軸的平行線相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為(x2,y1),由①得AC=|x1x2|;由②得BC=|y1y2|;根據(jù)勾股定理可得平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的距離公式AB

小試牛刀:

1)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣23),B點(diǎn)坐標(biāo)為(33)則AB   ;

2)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,2),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,﹣4)則AB   ;

3)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(32),B點(diǎn)坐標(biāo)為(7,﹣1)則AB   ;

學(xué)以致用:

若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)B坐標(biāo)為(44),點(diǎn)Px軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)AP+PB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為  并求出AP+PB最小值=  ;

挑戰(zhàn)自我:

已知M,N根據(jù)數(shù)形結(jié)合,直接寫出M的最小值=   ;N的最大值=   ;

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【題目】某校為了慶祝建國(guó)七十周年,決定舉辦一臺(tái)文藝晚會(huì),為了了解學(xué)生最喜愛(ài)的節(jié)目形式,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈小品,相聲其它五個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列題:

最喜愛(ài)的節(jié)目

人數(shù)

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了   名學(xué)生;

2a   ;b   ;

3)在扇形計(jì)圖中,計(jì)算歌曲所在扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)最喜愛(ài)相聲的學(xué)生的人數(shù).

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1)判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

2)若AC10,tanCAE,求AE的長(zhǎng).

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【題目】為了美化環(huán)境,建設(shè)宜居成都,我市準(zhǔn)備在一個(gè)廣場(chǎng)上種植甲、乙兩種花卉,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,甲種花卉的種植費(fèi)用y(元)與種植面積xm2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,乙種花卉的種植費(fèi)用為每平方米100元.

1)直接寫出當(dāng)0≤x≤300x300時(shí),yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)廣場(chǎng)上甲、乙兩種花卉的種植面積共1200m2,若甲種花卉的種植面積不少于200m2,且不超過(guò)乙種花卉種植面積的2倍,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用為多少元?

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【題目】如圖,D為直角ABC中斜邊AC上一點(diǎn),且ABAD,以AB為直徑的⊙OAD于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)E,連接BF,BF

1)求證:BEFE;

2)求證:∠AFE=∠BDC;

3)已知:sinBAE,AB6,求BC的長(zhǎng).

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【題目】在星期一的第八節(jié)課,我校體育老師隨機(jī)抽取了九年級(jí)的總分學(xué)生進(jìn)行體育中考的模擬測(cè)試,并對(duì)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖,按得分劃分成A、B、C、D、E、F六個(gè)等級(jí),并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

 等級(jí)

 得分x(分)

 頻數(shù)(人)

 A

 95<x≤100

 4

 B

 90<x≤95

 m

 C

 85<x≤90

 n

 D

 80<x≤85

 24

 E

 75<x≤80

 8

 F

 70<x≤75

 4

請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息完成下列問(wèn)題:

1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是   .其中m=   ,n=   

2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求E等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角α的度數(shù);

3)我校九年級(jí)共有700名學(xué)生,估計(jì)體育測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>A、B兩個(gè)等級(jí)的人數(shù)共有多少人?

4)我校決定從本次抽取的A等級(jí)學(xué)生(記為甲、乙、丙、。┲,隨機(jī)選擇2名成為學(xué)校代表參加全市體能競(jìng)賽,請(qǐng)你用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法,求恰好抽到甲和乙的概率.

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