Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED⊥AB，交AB于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F．過(guò)點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：PC=PF；
（2）在劣弧AC上有一點(diǎn)D，滿足AD²=DE•DF，連接DB．若，AH=4，求HF的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）連接BC，
∵AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，弦ED⊥AB，
∴∠BCA=90°，∠PCA=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFA，
∵∠PFC=∠HFA，
∴∠CBA=∠PFC，
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF，

（2）連接BD，AE，
∵AB為直徑，
∴BD⊥AD，
∵DE⊥AB，
∴AD²=AH•AB，
∵，
∴AD：BD=1：2，
∵AH=4，
∴AD=4，
∴DH=8，
∴DE=16，
∵AD²=DE•DF，
∴DF=5，
∵，∠ADF=∠EDA，
∴△FDA∽△ADE，
∵△ADE為等腰三角形，
∴△FDA也為等腰三角形，
∴DF=AF=5，
∴HF=3．
分析：（1）連接BC，由題意可推出∠PCA=∠CBA，結(jié)合圖形可知∠CBA=∠PFC，推出∠PCA=∠PFC，即PC=PF；
（2）連接BD，AE，根據(jù)題意，結(jié)合射影定理推出AD的長(zhǎng)度，既而推出DH的長(zhǎng)度和DE的長(zhǎng)度，根據(jù)足AD²=DE•DF，便可得DF的長(zhǎng)度，通過(guò)證明△FDA∽△ADE，可知DF=AF=5，根據(jù)勾股定理推出FH=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、射影定理、垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件作好輔助線，求證相關(guān)的三角形相似即可．