Question

如圖，在半徑為R的圓內(nèi)作一個內(nèi)接正方形，然后作這個正方形的內(nèi)切圓，又在這個內(nèi)切圓中作內(nèi)接正方形，依此作到第n個內(nèi)切圓，它的半徑是

（

2

2

）ⁿR

．

Answer 1

分析：由題意可得第一個的半徑是R，△AOC是等腰直角三角形，則可求得第二個圓的半徑，同理求得第三個圓的半徑，繼而可得規(guī)律：第n個圓的半徑是（

2

2

）^n-1R，又由第n個內(nèi)切圓恰好是第n+1個圓，求得答案．

解答：解：如圖，連接OA，OB，OC，
∵第一個的半徑是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=

2

2

OA=

2

2

R，
即第二個圓的半徑是

2

2

R，
同理，第三個圓的半徑是（

2

2

）²R，
∴依此類推得到第n個圓，它的半徑是（

2

2

）^n-1R．
∵第n個內(nèi)切圓恰好是第n+1個圓，
∴第n個內(nèi)切圓，它的半徑是（

2

2

）ⁿR．
故答案為：（

2

2

）ⁿR．

點評：此題考查了正多邊形與圓的知識．此題難度適中，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：第n個圓的半徑是（

2

2

）^n-1R是關(guān)鍵．