【題目】探究與發(fā)現(xiàn):

如圖1所示的圖形,像我們常見的學習用品--圓規(guī).我們不妨把這種圖形叫做規(guī)形圖,那么在這一個簡單的圖形中,到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢?請解決以下問題:

(1)觀察規(guī)形圖,試探究∠BPC與∠A、∠B、∠C之間的關系,并說明理由;

(2)請你直接利用以上結論,解決以下問題:

①如圖2:已知△ABC,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,直接寫出∠BPC與∠A之間存在的等量關系為:

遷移運用:如圖3:在△ABC中,∠A=80°,點O是∠ABC,∠ACB角平分線的交點,點P是∠BOC,∠OCB角平分線的交點,若∠OPC=100°,則∠ACB的度數(shù)

②如圖4:若D點是△ABC內任意一點,BP平分∠ABD,CP平分∠ACD.直接寫出∠BDC、∠BPC、∠A之間存在的等量關系為

【答案】(1)BPC=A+B+C,理由見解析;(2)①∠BPC=90°+A,60°;②2BPC=BDC+A

【解析】

1)首先連接AP并延長至點F,然后根據(jù)外角的性質,即可判斷出∠BPC=A+B+C;

2)①利用角平分線的定義,三角形的內角和定理證明即可;

遷移運用:設∠BCP=PCO=x,∠BOP=COP=y,由∠P=100°,推出x+y=80°,推出2x+2y=160°,推出∠OBC=180°-160°=20°,可得∠ABC=40°,由此即可解決問題;

②根據(jù)角平分線的定義和四邊形的內角和即可得到結論.

(1)如圖,連接AP并延長至點F,

根據(jù)外角的性質,可得

∠BPF=∠BAP+∠B∠CPF=∠C+∠CAP,

∵∠BPC=∠BPF+∠CPF,∠BAC=∠BAP+∠CAP,

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C;

(2)①結論:∠BPC=90°+∠A

理由:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB

∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A;

遷移運用:設∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y,

∵∠P=100°

∴x+y=80°,

∴2x+2y=160°

∴∠OBC=180°-160°=20°,

∵BO平分∠ABC,

∴∠ABC=40°,

∵∠A=80°,

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°;

故答案為:∠BPC=90°+∠A60°;

②∵BP平分∠ABDCP平分∠ACD

∴∠PBD=∠ABP,∠PCD=∠ACP

四邊形BPDC中,∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°,

∠ABD+∠ACD=∠D-∠P,

在四邊形ABPC中,∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°,

∴∠A+∠D-∠P-∠P=0

∴2∠BPC=∠BDC+∠A

故答案為:2∠BPC=∠BDC+∠A

練習冊系列答案
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【題目】如圖,ABC的頂點坐標分別為A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)作出與ABC關于x軸對稱的A 1B1C1,并寫出點A1的坐標;

(2)以原點O 為位似中心,在原點的另一側畫出A2B2C2,使,并寫出點A2的坐標.

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1)求證:AEF≌△DEB;

2)證明四邊形ADCF是菱形;若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.

3)當ABC滿足什么條件時,四邊形ADCF是正方形,請說明理由.

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【題目】小明購買A,B兩種商品,每次購買同一種商品的單價相同,具體信息如下表:

次數(shù)

購買數(shù)量(件

購買總費用(元

A

B

第一次

2

1

55

第二次

1

3

65

根據(jù)以上信息解答下列問題:

(1)求A,B兩種商品的單價;

(2)若第三次購買這兩種商品共12件,且A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的2倍,請設計出最省錢的購買方案,并說明理由.

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【題目】如圖在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每個小方格的邊長均為1個單位長度)

(1)請畫出ABC關于x軸對稱的A1B1C1;

(2)將ABC繞點O逆時針旋轉90°,畫出旋轉后得到的A2B2C2并求出點B旋轉到點B2所經(jīng)過的路徑長

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【題目】如圖,已知∠1+∠2﹦180°,∠3﹦∠B,則DEBC,下面是王華同學的推導過程﹐請你幫他在括號內填上推導依據(jù)或內容.

證明:

∵∠1+∠2﹦180(已知),

∠1﹦∠4 _________________,

∴∠2﹢_____﹦180°.

EHAB___________________________________

∴∠B﹦∠EHC________________________________

∵∠3﹦∠B(已知)

∴ ∠3﹦∠EHC____________________

DEBC__________________________________

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【題目】我市某中學舉行中國夢校園好聲音歌手大賽,高、初中部根據(jù)初賽成績,各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學校決賽。兩個隊各選出的5名選手的決賽成績如圖所示.

(1)根據(jù)圖示填寫下表;

(2)結合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好;

(3)計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定.

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