Question

圖1和圖2中，優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2，AB=2．點P為優(yōu)弧上一點（點P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．

（1）點O到弦AB的距離是　 　，當BP經過點O時，∠ABA′=　 　°；

（2）當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長：

（3）若線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B，設∠ABP=α．確定α的取值范圍．

Answer 1

       解：（1）①過點O作OH⊥AB，垂足為H，連接OB，如圖1①所示．

∵OH⊥AB，AB=2，

∴AH=BH=．

∵OB=2，

∴OH=1．

∴點O到AB的距離為1．

②當BP經過點O時，如圖1②所示．

∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，

∴sin∠OBH==．

∴∠OBH=30°．

由折疊可得：∠A′BP=∠ABP=30°．

∴∠ABA′=60°．

故答案為：1、60．

（2）過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．

∵BA′與⊙O相切，

∴OB⊥A′B．

∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，

∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．

∴OG=OB=1．

∴BG=．

∵OG⊥BP，

∴BG=PG=．

∴BP=2．

∴折痕的長為2．

（3）∵點P，A不重合，∴α＞0°，

由（1）得，當α增大到30°時，點A′在上，

∴當0°＜α＜30°時，點A′在⊙O內，線段BA′與只有一個公共點B．

由（2）知，α增大到60°時，BA′與⊙O相切，即線段BA′與只有一個公共點B．

當α繼續(xù)增大時，點P逐漸靠近B點，但點P，B不重合，

∴∠OBP＜90°．

∵α=∠OBA+∠OBP，∠OBA=30°，

∴α＜120°．

∴當60°＜α＜120°時，線段BA′與只有一個公共點B．

綜上所述：線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．