【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AC=CD,若點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩點(diǎn),且∠EAF=∠CAD.
(1)求證:△ADF∽△ACE;
(2)求證:AE=EF.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到∠BCA=∠CAB,由等邊對(duì)等角可得到∠CAD=∠D,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)利用SAS可判定△BCA≌△DAC,由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠D=∠ACB,再根據(jù)相似三角形的判定得出即可;
(2)由△ADF∽△ACE可得到對(duì)應(yīng)邊成比例,已知∠EAF=∠CAD從而可推出△AEF∽△ACD,已知AC=CD,根據(jù)對(duì)應(yīng)成比例不難得到結(jié)論.
解:(1)∵AC=CD,
∴∠D=∠CAD.
∵平行四邊形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∴∠D=∠ACB.
∵∠EAF=∠CAD,
∴∠DAF=∠CAE,
∴△ADF∽△ACE;
(2)∵△ADF∽△ACE,
∴,
∵∠EAF=∠CAD,
∴△AEF∽△ACD,
∴,
又∵AC=CD,
∴AE=EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,點(diǎn)E(x,y)為拋物線上一點(diǎn),且﹣5<x<﹣2,過點(diǎn)E作EF∥x軸,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,作EH⊥x軸于點(diǎn)H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周長(zhǎng)的最大值;
(3)如圖2,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,A,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的的頂點(diǎn)為.
(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若軸且
①點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;
②過點(diǎn)作軸的垂線,若直線與拋物線交于兩點(diǎn),該拋物線在之間的部分與線段所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知⊙D經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),OC與⊙D交于點(diǎn)C,∠OCA=30°.求
(1)⊙D的半徑;
(2)圓中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-4=0.
(1)當(dāng)m為何值時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?
(2)若邊長(zhǎng)為5的菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為方程兩根的2倍,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,⊙O是△BEF的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線.
(2)過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,求證:CD=HF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,連接DE.
(1)求證:△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC的高AD四等分,過每一個(gè)分點(diǎn)作底邊的平行線,把三角形的面積分成四部分S1、S2、S3、S4,則S1:S2:S3:S4等于( )
A.1:2:3:4B.2:3:4:5C.1:3:5:7D.3:5:7:9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠用天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品,每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件元的價(jià)格全部訂購,在生產(chǎn)過程中,由于技術(shù)的不斷更新,該產(chǎn)品第天的生產(chǎn)成本(元/件)與(天)之間的關(guān)系如圖所示,第天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量(件)與(天)滿足關(guān)系式
第天,該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)是 元;
設(shè)第天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為元.
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出第幾天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中,當(dāng)天利潤(rùn)不低于元的共有多少天?
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