Question

如圖，AB經(jīng)過⊙O上的點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分別與OA、OB的交點D、E恰好是OA、OB的中點，EF切⊙O于點E，交AB于點F．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為2，求DF的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及切線的判定進(jìn)而得出即可.

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠FOE=∠B=30°，進(jìn)而得出FO的長，再利用勾股定理得出DF的長即可．

試題解析：（1）如圖，連接CO，

∵AO=BO，CA=CB，∴CO⊥AB.

∵CO為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線.

（2）如圖，連接FO，

∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，∴AO=4，∠B=30°.

∵⊙O分別與OA、OB的交點D、E恰好是OA、OB的中點，EF切⊙O于點E，

∴FE⊥BO，OE=BE=2. ∴FO=FB. ∴∠FOE=∠B=30°.

∴，解得：.

∵∠A=∠B=∠BOF=30°，∴∠AOF=90°.

∴.

考點：1.切線的判定和性質(zhì)；2等腰三角形的性質(zhì)；3.勾股定理.