Question

如圖，BD是⊙O的直徑，⊙O經過A、B、C三點且AB=AC，AD交BC于點E，AE=4，ED=8．
（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，證明直線FA與⊙O相切；
（3）求sinF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABE與△ADB的兩個內角相等，故△ABE∽△ADB，進而可得=，代入數據可得答案；
（2）連接OA，根據勾股定理可得BF=BO=AB，易得∠OAF=90°，故可得直線FA與⊙O相切；
（3）利用（2）中結論即可得出sinF==．
解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴=，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（4+8）×4=48，
∴AB=4；

（2）證明：連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD===8，
∴BF=BO=BD=×8=4．
∵AB=4，
∴BF=BO=AB，即△ABO為等邊三角形，∠BFA=∠BAF，
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∠OBA=∠BFA+∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°，
∴直線FA與⊙O相切．

（3）解：∵∠OAF=90°，
∴sinF==．
點評：本題主要考查了圓的切線的判定定理的證明．本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定及相似三角形證明與性質的運用，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．