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如圖,BD是⊙O的直徑,⊙O經過A、B、C三點且AB=AC,AD交BC于點E,AE=4,ED=8.
(1)求證:△ABE∽△ADB,并求AB的長;
(2)延長DB到F,使BF=BO,連接FA,證明直線FA與⊙O相切;
(3)求sinF的值.

【答案】分析:(1)易得△ABE與△ADB的兩個內角相等,故△ABE∽△ADB,進而可得=,代入數據可得答案;
(2)連接OA,根據勾股定理可得BF=BO=AB,易得∠OAF=90°,故可得直線FA與⊙O相切;
(3)利用(2)中結論即可得出sinF==
解答:證明:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB,
=,
∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(4+8)×4=48,
∴AB=4;

(2)證明:連接OA,
∵BD為⊙O的直徑,
∴∠BAD=90°,
∴BD===8,
∴BF=BO=BD=×8=4
∵AB=4,
∴BF=BO=AB,即△ABO為等邊三角形,∠BFA=∠BAF,
∴∠BAO=∠OBA=60°,又∠OBA=∠BFA+∠BAF,
∴∠BFA=∠BAF=30°,
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°,
∴直線FA與⊙O相切.

(3)解:∵∠OAF=90°,
∴sinF==
點評:本題主要考查了圓的切線的判定定理的證明.本題考查常見的幾何題型,包括切線的判定及相似三角形證明與性質的運用,要求學生掌握常見的解題方法,并能結合圖形選擇簡單的方法解題.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,△ABC是一個邊長為2的等邊三角形,D、E都在直線BC上,并且∠DAE=120°
(1)設BD=x,CE=y,求y與x直間的函數關系式;
(2)在上題中一共有幾對相似三角形,分別指出來(不必證明)
(3)改變原題的條件為AB=AC=2,∠BAC=β,∠DAE=α,α、β之間要滿足什么樣的關系,能使(1)中y與x的關系式仍然成立?說明理由.

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,等邊△ABC的邊AB與正方形DEFG的邊長均為2,且AB與DE在同一條直線上,開始時點B與點D重合,讓△ABC沿這條直線向右平移,直到點B與點E重合為止,設BD的長為x,△ABC與正方形DEFG重疊部分(圖中陰影部分)的面積為y,則y與x之間的函數關系的圖象大致是( 。

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泰勒斯是古希臘哲學家,相傳他利用三角形全等的方法求出岸上一點到海中一艘船的距離.如圖,B是觀察點,船A在B的正前方,過B作AB的垂線,在垂線上截取任意長BD,C是BD的中點,觀察者從點D沿垂直于BD的DE方向走,直到點E、船A和點C在一條直線上,那么△ABC≌△EDC,從而量出DE的距離即為船離岸的距離AB,這里判定△ABC≌△EDC的方法是(  )

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科目:初中數學 來源:2012年重慶市開縣西街中學中考數學一模試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,等邊△ABC的邊AB與正方形DEFG的邊長均為2,且AB與DE在同一條直線上,開始時點B與點D重合,讓△ABC沿這條直線向右平移,直到點B與點E重合為止,設BD的長為x,△ABC與正方形DEFG重疊部分(圖中陰影部分)的面積為y,則y與x之間的函數關系的圖象大致是( )

A.
B.
C.
D.

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科目:初中數學 來源:2011年黃岡教育陽江培訓中心中考數學模擬試卷(5)(解析版) 題型:解答題

如圖,△ABC是一個邊長為2的等邊三角形,D、E都在直線BC上,并且∠DAE=120°
(1)設BD=x,CE=y,求y與x直間的函數關系式;
(2)在上題中一共有幾對相似三角形,分別指出來(不必證明)
(3)改變原題的條件為AB=AC=2,∠BAC=β,∠DAE=α,α、β之間要滿足什么樣的關系,能使(1)中y與x的關系式仍然成立?說明理由.

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