Question

我們提供如下定理：在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，

如圖（1），Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC=

1

2

AB．
請(qǐng)利用以上定理及有關(guān)知識(shí)，解決下列問題：
如圖（2），邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D從A出發(fā)，沿射線AB方向有A向B運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā)，以相同的速度沿著射線BC方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DE⊥AC，DF交射線AC于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出AE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求AD的長(zhǎng)及△BDF的面積；
（3）小明通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半，他想當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖3的情況時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半嗎？若改變，說明理由；若不變，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)D為AB的中點(diǎn)，求出AD的長(zhǎng)，在Rt△ADE中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)題意得到設(shè)AD=CF=x，表示出BD與BF，在Rt△BDF中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到BF=2BD，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BD與BF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，即可確定出△BDF的面積；
（3）不變，理由如下，如圖，過F作FM⊥AG延長(zhǎng)線于M，由AD=CF，且△ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義得到DE=FM，以及AE=CM，利用AAS得到△DEG與△FMC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EG=MG，根據(jù)AC=AE+EC，等量代換即可得證．

解答：解：（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=BD=

1

2

AB=3，
在Rt△ADE中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD=

3

2

；

（2）設(shè)AD=x，∴CF=x，
則BD=6-x，BF=6+x，
∵∠B=60°，∠BDF=90°，
∴∠F=30°，即BF=2BD，
∴6+x=2×（6-x），
解得：x=2，即AD=2，
∴BD=4，BF=8，
根據(jù)勾股定理得：DF=

82-42

=4

3

，
∴S_△BDF=

1

2

×4×4

3

=8

3

；

（3）不變，理由如下，如圖，過F作FM⊥AG延長(zhǎng)線于M，
∵AD=CF，△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°，
在Rt△ADE和Rt△FCM中，
∴DE=ADsinA=

3

2

AD，F(xiàn)M=CFsin∠FCM=

3

2

CF，
∴DE=FM，
同理AE=CM，
在△DEG和△FMG，

∠DEG=∠FMC=90° ∠EGD=∠MGF DE=FM

，
∴△DEG≌△FMG（AAS），
∴EG=GM，
∴AC=AE+EC=CM+CE=EG+GM=2GE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．