Question

24、如圖，A、B兩工廠在河邊CD的同側(cè)，A、B兩工廠到河邊的距離分別為AC=3.5km，BD=12.5km，CD=12km，現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠P向A、B兩工廠輸送自來水，鋪設(shè)水管時(shí)工程費(fèi)為每千米2000元．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案：要求水廠P建在線段CD上且能使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的最省費(fèi)用．

Answer 1

分析：將鋪設(shè)水管的最省費(fèi)用問題，轉(zhuǎn)化成求最短路線問題．
本題并未明確指出是由水廠“分別”向A、B兩兩地輸送自來水，也可以先經(jīng)A村，再送到B村，或先經(jīng)B村現(xiàn)到A村．
分情況討論：（1）若建在C點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)之間線段最短，可確定最短距離是：AC+AB．
　　　　　�。�2）若建在D點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)之間線段最短，可確定最短距離是：DB+AB．
　　　　　�。�3）若建在線段CD（不包括C，D點(diǎn)），如圖所示，根據(jù)對(duì)稱可確定，最知道距離是：BA′．

解答：解：（1）如圖所示，若建在C點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)之間線段最短，可確定最短距離是：D₁=AC+AB，
過點(diǎn)A做AE⊥BD，由AC=3.5km，BD=12.5km，CD=12km，
易得BE=BD-AC=12.5-3.5=9km，
AE=CD=12km，
在在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
即AB²=12²+9²，
AB=15km，
則最短距離是：AC+AB=3.5+15=18.5km，
工程費(fèi)用為：18.5×2000=37000元．

（2）如圖所示，若建在D點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)之間線段最短，可確定最短距離是：D₂=BD+AB，
∵BD=12.5，且由（1）可知AB=15km，
∴最短距離是：BD+AB=12.5+15=27.5km，
工程費(fèi)用為：27.5×2000=55000元．
                                  
（3）如圖所示，若建在線段CD（不包括C，D點(diǎn)），分別向A、B兩兩地輸送自來水，作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE，與CD交于點(diǎn)P，則PA+PB最短，過E做EF∥CD與BD交于點(diǎn)F，由作圖可知，
PA=EP，EF=CD=12km，AC=CE=DF=3.5KM，
所以PA+PB=EP+PB=EB，在Rt△BEF中，
EF=12km，BF=BD+DF=12.5+3.5=16KM，
由構(gòu)股定理可得：BE²=BF²+EF²，
BE²=16²+12²，
解得：BE=20，
工程費(fèi)用為：20×2000=40000元．
                             
故綜合考慮水廠P應(yīng)建在C點(diǎn)，鋪設(shè)水管的最省，最底費(fèi)用為37000元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求最短路線問題，要針對(duì)具體的情境和數(shù)據(jù)具體分析解決，不能簡(jiǎn)單套用，機(jī)械模仿．