Question

如圖，正方形ABCD中，P在對角線BD上，E在CB的延長線上，且PE=PC，過點P作PF⊥AE于點F，若BE=1，AB=3，則PF的長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：連接AP．根據(jù)四邊形ABCD是正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，證△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．

解答：解：連接AP．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠3=∠4，
∵PE=PC，
∴PA=PE，
∵PE=PC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
又∵∠ANP=∠ENB，
∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
∵BE=1，AB=3，
∴AE=

12+32

=

10

，
∴PE=

AE

2

=

10

2

=

5

．
∴PF=

2

2

PE=

10

2

．
故答案是：

10

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．