Question

如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，且△EAC是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若AC=8，AB=5，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出EA=EC，推出EO⊥AC，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BO，求出DO，根據(jù)勾股定理求出EO，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，
∵△EAC是等邊三角形，
∴EA=EC，
∴EO⊥AC，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，
∴AO=CO=4，DO=BO，
在Rt△ABO中，BO=

AB2-AO2

=3，
∴DO=BO=3，
在Rt△EAO中，EO=

EA2-AO2

=4

3

，
∴ED=EO-DO=4

3

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．