如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，
），∠CAB=90°，AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在y軸右側(cè)運(yùn)動時，設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O在第一象限內(nèi)相切時，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
