Question

已知，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP=PC=AC，PQ=QC．
（1）如圖1，當(dāng)AP=AC時，求∠BAP和∠PAQ的度數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)AP≠AC時，猜想并驗證∠BAP和∠PAQ的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由△APC是等邊三角形，得出∠APC=∠PAC=60°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BAP=30°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠PAQ=

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2

∠PAC=30°，于是∠BAP=∠PAQ；
（2）取AC中點M，連接PM，QM．在△CAB中，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出PM∥AB，PM=

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2

AB，那么∠BAP=∠APM，再證明△APQ≌△PAM，得出∠PAQ=∠APM，于是∠BAP=∠PAQ．

解答：解：（1）∵AP=AC，PC=AC，
∴△APC是等邊三角形，
∴∠APC=∠PAC=60°，
∵BP=AP，
∴∠BAP=∠B，
∵∠BAP+∠B=∠APC=60°，
∴∠BAP=30°，
∵AP=AC，PQ=QC，
∴∠PAQ=

1

2

∠PAC=30°，
∴∠BAP=∠PAQ；

（2）取AC中點M，連接PM，QM．
△CAB中，∵BP=PC，AM=MC，
∴PM∥AB，PM=

1

2

AB，
∴∠BAP=∠APM，
∵PC=AC，
∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ=QC=

1

2

PC，AM=MC=

1

2

AC，
∴PQ=AM，
在△APQ和△PAM中，

PQ=AM ∠APQ=∠PAM AP=PA

，
∴△APQ≌△PAM（SAS），
∴∠PAQ=∠APM，
∴∠BAP=∠PAQ．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解決第（2）小題的關(guān)鍵．