Question

已知拋物線y=（m-1）x²-2mx+m+1（m＞1）．
（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離為2，求m的值；
（3）若一次函數(shù)y=kx-k的圖象與拋物線始終只有一個公共點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）令y=0，則（m-1）x²-2mx+m+1=0，利用求根公式可以求得方程的解，即該拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式列出關(guān)于m的方程，通過解方程來求m的值；
（3）依題意得到：方程kx-k=（m-1）x²-2mx+m+1有兩個相等的實(shí)數(shù)根．根據(jù)根的判別式的符號求解．

解答：解：（1）令y=0，則（m-1）x²-2mx+m+1=0．
∵△=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4，
解方程，得x=

2m±2

2(m-1)

．
∴x₁=1，x2=

m+1

m-1

．
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（

m+1

m-1

，0）；

（2）∵m＞1，∴

m+1

m-1

＞1．
由題意可知，

m+1

m-1

-1=2．
解得，m=2．
經(jīng)檢驗(yàn)m=2是方程的解且符合題意．
∴m=2；

（3）∵一次函數(shù)y=kx-k的圖象與拋物線始終只有一個公共點(diǎn)，
∴方程kx-k=（m-1）x²-2mx+m+1有兩個相等的實(shí)數(shù)根．
整理該方程，得（m-1）x²-（2m+k）x+m+1+k=0，
∴△=（2m+k）²-4（m-1）（m+1+k）=k²+4k+4=（k+2）²=0，
解得k₁=k₂=-2．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+2．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)、根的判別式等知識點(diǎn)．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．