Question

如圖，A、C在⊙O上，以O(shè)A為直徑的⊙P交PC于B，且∠OAB=45°，OA=4，則弧AB、弧AC和線段BC所圍的陰影部分的面積S=

5π

3

-2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)∠OAB=45°可以發(fā)現(xiàn)CP⊥OA．則陰影部分的面積等于直角三角形APC的面積減去扇形PAB的面積，連接OC、AC．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OC=OA，即可發(fā)現(xiàn)等邊三角形AOC，從而求得∠A=60°，再由陰影部分的面積=S_扇形OAC-S_△OPC-S_扇形PAB即可得出答案．

解答：解：連接OC、AC，

∵PA=PB，∠OAB=45°，
∴∠APB=90°，
又OP=AP，
∴OC=AC．
又OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形．
∴∠A=60°．
∵PA=2，
∴PC=2

3

．
∴陰影部分的面積=S_扇形OAC-S_△OPC-S_扇形PAB=

5π

3

-2

3

．
故答案為：

5π

3

-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)此題中的等腰直角三角形和等邊三角形，有一定難度．