Question

已知關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0．
（1）試說(shuō)明：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用根的判別式得出△=（4k+1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²≥0，進(jìn)一步利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（2）分AB=AC和BC的長(zhǎng)為5為腰兩種情況，探討得出答案即可．

解答：解：（1）△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=16k²+1+8k-12k²-12k
=4k²-4k+1
=（2k-1）²≥0，
所以無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
（2）若AB=AC，
則方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
此時(shí)△=0，即：（2k-1）²=0，
解得：k=

1

2

；
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，AB=AC=3，此時(shí)AB、AC、BC滿足三邊關(guān)系．
若BC=5為△ABC的一腰，則方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0有一根是5，
將x=5代入方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0解得：k=

1

4

當(dāng)k=

1

4

時(shí)，解得方程兩根為5和3，此時(shí)AB、AC、BC滿足三邊關(guān)系．
綜上：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，k的值為

1

2

或

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．