Question

已知如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四邊形AODE的面積．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）先判斷出四邊形AODE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC⊥BD，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠ABC=60°，判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OA、OB，然后得到OD，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四邊形AODE是菱形，
故，四邊形AODE是矩形；

（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA=

1

2

×6=3，OB=

3

2

×6=3

3

，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB=3

3

，
∴四邊形AODE的面積=OA•OD=3×3

3

=9

3

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，主要利用了有一個角是直角的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．