Question

如圖，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面結論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP； ④S_△ABC=S_{四邊形AOCP}，其中正確的有（　�。�

• A、②③
• B、①②④
• C、③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質

專題：

分析：①連接OB，根據垂直平分線性質即可求得OB=OC=OP，即可解題；
②根據周角等于360°和三角形內角和為180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解題；
③AB上找到Q點使得AQ=OA，易證△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解題；
④作CH⊥CD，可證△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根據全等三角形面積相等即可解題．

解答：解：如圖，

①連接OB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC垂直平分線，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正確；
②∵△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等邊三角形，故②正確；
③在AB上找到Q點使得AQ=OA，則△AOQ為等邊三角形，
則∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，

∠BQO=∠PAO ∠ABO=∠APO OB=OP

，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，故③正確；
④作CH⊥CD，

∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，

∠ODC=∠PHC=90° ∠OCD=∠PCH OC=CP(等邊三角形邊長相等)

，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S_△OCD=S_△CHP
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在RT△ABD和RT△ACH中，

AB=AC BD=CH

，
∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），
∴S_△ABD=S_△AHC，
∵四邊形OAPC面積=S_△OAC+S_△AHC+S_△CHP，S_△ABC=S_△AOC+S_△ABD+S_△OCD
∴四邊形OAPC面積=S_△ABC．故④正確．
故選 D．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△BQO≌△PAO是解題的關鍵．