Question

（2012•雅安）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），求此時(shí)拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，k），k＜0，點(diǎn)Q是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，QB+QP取得最小值為5；
（3）試求滿足（2）時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)出拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=a（x+1）²+4，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，找出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接BP′交y軸于點(diǎn)Q，則QB+QP最小，即QB+QP′最小，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出AB，再Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可得到k的值；
（3）根據(jù)△BOQ和△BAP′相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OQ的值，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²+4，
將點(diǎn)A（1，0）坐標(biāo)代入，得a（1+1）²+4=0，
解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）²+4（或y=-x²-2x+3）；

（2）作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（1，k），連接BP′交y軸于點(diǎn)Q，
所以，QP=QP′，
點(diǎn)Q即為所求的使QB+QP取得最小值時(shí)的點(diǎn)，
∵點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴點(diǎn)B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值為5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB²+AP′²=BP′²，
即4²+k²=5²，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴

BO

BA

=

OQ

AP′

，
即

3

4

=

OQ

3

，
∴OQ=

9

4

．
所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（1）利用頂點(diǎn)式解析式形式求解比較簡(jiǎn)單，（2）找出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′確定出點(diǎn)Q的位置是解題的關(guān)鍵．