Question

【題目】如圖示，是的直徑，點(diǎn)是半圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），弦平分，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn).

（1）求證：與相切：

（2）若，，求長(zhǎng)；

（3）若，長(zhǎng)記為，長(zhǎng)記為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）4；（3）

【解析】

（1）首先連接，通過(guò)半徑和角平分線的性質(zhì)進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換，得出，進(jìn)而得出，即可得證；

（2）首先連接，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理得出DE；

（3）首先連接，過(guò)點(diǎn)作，得出，再得，進(jìn)而得出，然后構(gòu)建二次函數(shù)，即可得出其最大值.

（1）證明：連接

∵

∴

∵平分

∴

∴

∴

∵

∴

又∵是的半徑

∴與相切

（2）解：連接

∵AB為直徑

∴∠ADB=90°

∵

∴

∴

∴

∴中

（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于

∵，DE⊥AE，AD=AD

∴

∴，DE=DG

∴

∴

∴

即：

∴

∴

根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，