Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣1（a＞0）與直線y＝kx+3交于MN兩點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____

Answer 1

【答案】(0,-5)

【解析】

根據(jù)題意設(shè)M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t），然后根據(jù)拋物線與直線的交點(diǎn)得出一元二次方程，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得xM+xN＝，xM×xN＝﹣，再由相似三角形的判定和性質(zhì)求得t，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

如圖作MB⊥y軸，NA⊥y軸

∵M，N是直線y＝kx+3的點(diǎn)

∴設(shè)M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）

∵拋物線y＝ax2﹣1（a＞0）與直線y＝kx+3交于MN兩點(diǎn)

∴ax2﹣1＝kx+3

ax2﹣kx﹣4＝0

∴xM+xN＝，xM×xN＝﹣，

∵直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱

∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°

∴△MBP∽△NAP，

∴即 ，

∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN

∴﹣（3﹣t）＝2k×（-），

∴t＝﹣5

∴P（0，﹣5）.

故答案為（0，﹣5）