Question

已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，直線AC解析式為y=kx+4，
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，求k；
（3）若以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求k．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）由對(duì)稱軸為x=-

b

2a

，且函數(shù)過(guò)（0，0），則可推出b，c，進(jìn)而得函數(shù)解析式．
（2）

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，且兩三角形為同高不同底的三角形，易得

AB

BC

=

1

3

，考慮計(jì)算方便可作B，C對(duì)x軸的垂線，進(jìn)而有B，C橫坐標(biāo)的比為

AB

AC

=

1

4

．由B，C為直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，則聯(lián)立可求得B，C坐標(biāo)．由上述倍數(shù)關(guān)系，則k易得．
（3）以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即∠BOC=90°，一般考慮表示邊長(zhǎng)，再用勾股定理構(gòu)造方程求解k．可是這個(gè)思路計(jì)算量異常復(fù)雜，基本不考慮，再考慮（2）的思路，發(fā)現(xiàn)B，C橫縱坐標(biāo)恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易證△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此構(gòu)造方程發(fā)現(xiàn)k值大多可約去，進(jìn)而可得k值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴-

b

2•(-1)

=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=-x²+4x．

（2）如圖1，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，

∵

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，
∴

AB

BC

=

1

3

，
∴

AB

AC

=

1

4

，
∵EB∥FC，
∴

EB

FC

=

AB

AC

=

1

4

．
∵y=kx+4交y=-x²+4x于B，C，
∴kx+4=-x²+4x，即x²+（k-4）x+4=0，
∴△=（k-4）²-4•4=k²-8k，
∴x=

(4-k)- k2-8k

2

，或x=

(4-k)+ k2-8k

2

，
∵x_B＜x_C，
∴EB=x_B=

(4-k)- k2-8k

2

，F(xiàn)C=x_C=

(4-k)+ k2-8k

2

，
∴4•

(4-k)- k2-8k

2

=

(4-k)+ k2-8k

2

，
解得 k=9（交點(diǎn)不在y軸右邊，不符題意，舍去）或k=-1．
∴k=-1．

（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴

EB

EO

=

FO

FC

，
∴EB•FC=EO•FO．
∵x_B=

(4-k)- k2-8k

2

，x_C=

(4-k)+ k2-8k

2

，且B、C過(guò)y=kx+4，
∴y_B=k•

(4-k)- k2-8k

2

+4，y_C=k•

(4-k)+ k2-8k

2

+4，
∴EO=y_B=k•

(4-k)- k2-8k

2

+4，OF=-y_C=-k•

(4-k)+ k2-8k

2

-4，
∴

(4-k)- k2-8k

2

•

(4-k)+ k2-8k

2

=（k•

(4-k)- k2-8k

2

+4）•（-k•

(4-k)+ k2-8k

2

-4），
整理得 16k=-20，
∴k=-

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、一元二次方程及圓的基本知識(shí)．題目特殊，貌似思路不難，但若思路不對(duì)，計(jì)算異常復(fù)雜，題目所折射出來(lái)的思想，考生應(yīng)好好理解掌握．