Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）交x軸與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），將直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置，邊WZ經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C（4，m），與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）將直尺以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線的其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在一點(diǎn)P（1，），使得△ACP的面積最大，面積的最大值為；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）∵S△CEF=EFyC=×2m=6，∴m=6，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，6），將點(diǎn)C（4，6）代入拋物線（a≠0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=，∴該拋物線的解析式為；

（2）假設(shè)存在．過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸與點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N，如圖1所示．

令拋物線中y=0，則有，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，）（﹣2＜n＜4），∵直線AC過點(diǎn)A（﹣2，0）、C（4，6），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+2．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n+2）．

∵S△ACP=PN（xC﹣xA）==，∴當(dāng)n=1時(shí)，S△ACP取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），∴在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．

（3）∵直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置，∴設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+c，∵點(diǎn)C（4，6）在直線CD上，∴6=﹣4+c，解得：c=10，∴直線CD的解析式為y=﹣x+10．

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組：，解得：，或，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．

令直線CD的解析式y(tǒng)=﹣x+10中y=0，則0=﹣x+10，解得：x=10，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，0），∵EF=2，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，0）．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（12﹣2t，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵點(diǎn)N（10﹣2t，2）在拋物線的圖象上，∴，整理得：，解得：，，∴當(dāng)t為或秒時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．