Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CFED．設(shè)FC與AB交于點(diǎn)H，且A（0，n）（n＞0），且3OA=2OC（如圖）．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求直線FC的解析式；
（2）若矩形OCBA的對(duì)稱中心M，請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)旋轉(zhuǎn)α角滿足什么條件時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)M，且以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先求出OC的長(zhǎng)，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=OC，過點(diǎn)F作FG⊥OC于G，解直角三角形求出FG、CG的長(zhǎng)，然后求出OG的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式形式求出拋物線的解析式，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，易得∠CDN=α，然后解直角三角形求出CN、DN，再求出ON，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于α的三角函數(shù)的方程，求解即可得到α的值．

解答：解：（1）∵A（0，n），3OA=2OC，
∴OC=

3

2

n，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

2

n，0），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CF=OC=

3

2

n，
過點(diǎn)F作FG⊥OC于G，
則FG=CF•sin60°=

3

2

n•

3

2

=

3 3

4

n，
CG=CF•cos60°=

3

2

n•

1

2

=

3

4

n，
∴OG=OC-CG=

3

2

n-

3

4

n=

3

4

n，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

4

n，

3 3

4

n），
設(shè)直線FC的解析式為y=kx+b，
則

3 2 nk+b=0 3 4 nk+b= 3 3 4 n

，
解得

k=- 3 b= 3 3 2 n

，
∴直線FC的解析式為y=-

3

x+

3 3

2

n；

（2）∵A（0，n），C（

3

2

n，0），
∴矩形OCBA的對(duì)稱中心M的坐標(biāo)為（

3

4

n，

1

2

n），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

2

n，n），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-

3

2

n）²+n，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得，a（

3

4

n-

3

2

n）²+n=

1

2

n，
解得a=-

8

9n

，
所以，拋物線解析式為y=-

8

9n

（x-

3

2

n）²+n，
過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，易得∠CDN=∠OCF=α，
∴CN=nsinα，DN=ncosα，
∴ON=OC+CN=

3

2

n+nsinα，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

n+nsinα，ncosα），
代入拋物線解析式得，-

8

9n

（

3

2

n+nsinα-

3

2

n）²+n=ncosα，
整理得，8sin²α+9cosα-9=0，
∵sin²α+cos²α=1，
∴sin²α=1-cos²α，
∴8cos²α-9cosα+1=0，
解得cosα=

1

8

或cosα=1，
當(dāng)cosα=1時(shí)，α=0，
∴cosα=1舍去，
因此，當(dāng)旋轉(zhuǎn)α角滿足cosα=

1

8

時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)M，且以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的運(yùn)算，（2）表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)并代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算難度較大，計(jì)算時(shí)要用到sin²α+cos²α=1的性質(zhì)．