Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），（-

3

，0），作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方向ABCD．
（1）點B的坐標為

 

，點C的坐標為

 

；
（2）若正方向ABCD以每秒2個單位長度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動，在運動過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于平移時間r（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）BM⊥y軸于點M，作CN⊥x軸于點N，證明△ABM≌△DAO，△CDN≌△DAO即可求得；
（2）首先證明∠ADO=30°，則∠DAO=60°，然后分只有點A在y軸右側(cè)時，當B和D分別位于y軸的左右兩邊時，點C和點D分別位于y軸的兩側(cè)時三種情況進行討論，利用三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）作BM⊥y軸于點M，作CN⊥x軸于點N．
∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAM+∠DAO=90°，
又∵直角△ABM中，∠BAM+∠MBA=90°，
∴∠MBA=∠DAO，
在△ABM和△DAO中，

∠MBA=∠DAO ∠BMA=∠AOD AB=DA

，
∴△ABM≌△DAO，
∴BM=AO=1，AM=OD=

3

，
則B的坐標是（-1，1+

3

），
同理，△CDN≌△DAO，
DN=AO=1，CN=OD=

3

，
則C的坐標是（-1-

3

，

3

）；
（2）∵OA=1，OD=

3

，
∴tan∠ADO=

OA

OD

=

3

3

，
∴∠ADO=30°，∠DAO=60°，
當只有點A在y軸右側(cè)時，如圖2，作AG⊥y軸于點G．
在直角△AEF中，AE=2t，∠AEF=30°，sin∠AEG=

AG

AE

，即AG=AE•sin∠AEG=2x•

3

2

=

3

x，當AG=1時，AE=

2 3

3

，
則AF=AE•tan∠FEA=

3

AE=2

3

t，
則S=

1

2

AE•AF=

1

2

×2t×2

3

t=2

3

t²，（0≤t≤

3

3

）；
當B和D分別位于y軸的左右兩邊時，如圖3，作AG⊥y軸于點G，作BH∥y軸，交AD于點H．
在直角△ABH中，∠ABH=30°，則AH=

AB

cos∠ABH

=

2

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

，
則S=S_△ABH+S_{平行四邊形BHEF}=

1

2

AB•AH+BH•（AG-1）=

1

2

×2×

2 3

3

-

4 3

3

•（

3

x-1），
即S=2

3

-4x（

3

3

＜t≤2）；
當點C和點D分別位于y軸的兩側(cè)時，如圖4．
ED=2x-2，
在直角△EDG中，EG=

ED

cos∠GED

=

2x-2

cos60°

=4x-4，則FG=2-（4x-4）=6-4x，
在直角△CFG中，CF=FG•sin∠AGF=

1

2

（6-4x）=3-2x，
CG=

3

CF=

3

（3-2x），
則S_△CFG=

1

2

CF•CG=

3

2

（3-2x）²，
則S=4-S_△CFG=4-

3

2

（3-2x）²，（2＜x≤2+

3

3

）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，注意到圖中三角形中的角的度數(shù)，利用三角函數(shù)求得各個邊的長度是關(guān)鍵．