Question

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（1，4）；B（3，0），以AB為直徑的圓M與y軸相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在D的下方）．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式和線段AB的長；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點(diǎn)P在以AB為直徑的圓M上，且∠BAP=∠OBC，設(shè)直線AP與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（1，4）；B（3，0）代入得，
解得，
所以直線AB的解析式為y=-2x+6；
線段AB的長==2；


（2）△ABC為等腰直角三角形．理由如下：
∵AB為⊙M的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），
∴BC²=（3-0）²+（0-t）²=9+t²，AC²=（1-0）²+（4-t）²=1+（4-t）²，
而AB=2，
∴9+t²+1+（4-t）²=20，
解得t₁=1，t₂=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形；


（3）如圖，∵AB為⊙M的直徑，
∴∠APB=90°，
∵∠BAP=∠OBC，
∴Rt△APB∽Rt△BOC，
∴==，即===，
∴PA=3，PB=，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∴（a-1）²+（b-4）²=（3）²，（a-3）²+（b-0）²=（）²，
∴a=，b=-；a=4，b=1；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）或（4，1），
設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n，
過A（1，4）和P（，-）的解析式為y=-7x+11，把y=0代入得-7x+11=0，解得x=，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；
過A（1，4）和P（4，1）的解析式為y=-x+5，把y=0代入得-x+5=0，解得x=5，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；
∴滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（5，0）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式；運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可計算得到AB=2；
（2）由于AB為⊙M的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到BC²=（3-0）²+（0-t）²，AC²=1+（4-t）²，
然后利用勾股定理得9+t²+1+（4-t）²=20，解得t₁=1，t₂=3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），所以BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），先證明Rt△APB∽Rt△BOC，利用==可計算出PA=3，PB=，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到（a-1）²+（b-4）²=（3）²，（a-3）²+（b-0）²=（）²，可解得a=，b=-；a=4，b=1；然后利用待定系數(shù)法確定直線AP的解析式，最后確定Q點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；記住兩點(diǎn)的距離公式；會運(yùn)用勾股定理和三角形相似比進(jìn)行幾何計算．