Question

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G為BC的中點(diǎn)，
求證：①DG∥AB；②DG=（AB-AC）．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)CD交AB于K．構(gòu)建等腰△AKC，然后根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)推知點(diǎn)D是KC的中點(diǎn)，即DG是△KBC的中位線(xiàn)．
（2）利用等腰△AKC的性質(zhì)和△KBC的中位線(xiàn)定理推知DG=KB=（AB-AK）=（AB-AC）．
解答：證明：（1）延長(zhǎng)CD交AB于K．
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，
∴AD是邊KC的中垂線(xiàn)，
∴點(diǎn)D是線(xiàn)段KC的中點(diǎn)．
又∵G為BC的中點(diǎn)，
∴DG是△KBC的中位線(xiàn)，
∴DG∥KB，即DG∥AB；

（2）∵AD平分∠BAC，AD是邊KC的中垂線(xiàn)，
∴AK=AC．
又∵DG是△KBC的中位線(xiàn)，
∴DG=KB=（AB-AK）=（AB-AC），即DG=（AB-AC）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線(xiàn)定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題也可以通過(guò)全等三角形（△AKD≌△ACD）來(lái)證明點(diǎn)D是線(xiàn)段KC的中點(diǎn)．