Question

【題目】已知直線l：y=kx（k＜0），將直線y=kx沿y軸向下平移m（m＞0）個單位得到直線y=kx﹣m，平移后的直線與拋物線y=ax2相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點，拋物線y=ax2經(jīng)過點P（6，﹣9）．
（1）求a的值；
（2）如圖1，當∠AOB＜90°時，求m的取值范圍；

（3）如圖2，將拋物線y=ax2向右平移一個單位，再向上平移n個單位（n＞0）．若第一象限的拋物線上存在點M，N兩點，且M，N兩點關于直線y=x軸對稱，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2經(jīng)過點P（6，﹣9），

∴36a=﹣9，

解得a=﹣

（2）

解：將y=kx﹣m代入y=﹣ x2，得 x2+kx﹣m=0，

∵y=kx﹣m與拋物線y=﹣ x2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，

∴y1=﹣ x12，y2=﹣ x22，x1x2=﹣4m，

∴y1y2=（﹣ x12）（﹣ x22）= （﹣4m）2=m2．

當∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．

在△AOM與△OBN中，

，

∴△AOM∽△OBN，

∴ = ，即 = ，

∴y1y2=﹣x1x2，

∴m2=4m，

∵m＞0，

∴m=4，

∴當∠AOB＜90°時，m＞4

（3）

解：∵M，N兩點關于直線y=x軸對稱，

∴直線y=x是線段MN的垂直平分線，

∴直線MN的斜率為﹣1，OM=ON，

∴∠MOP=∠NOP，

∵∠GOP=∠HOP=45°，

∴∠GOM=∠HON．

如圖2，設直線MN的解析式為y=﹣x+b，與平移后的拋物線y=﹣ （x﹣1）2+n交于M、N兩點，交x軸于E點．分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，

設M（m1，n1），N（m2，n2），直線MN與直線y=x交于點P．

在△OMG與△ONH中，

，

∴△OMG≌△ONH，

∴MG=HN，即MG=HE．

將y=﹣ （x﹣1）2+n代入y=﹣x+b得： x2﹣ x+ +b﹣n=0，

由根與系數(shù)的關系得m1+m2=6，

∵OE=HE+OH=MG+OH=m1+m2=6，

∴b=6．

即 x2﹣ x+ ﹣n=0，

∵△＞0，

∴（﹣ ）2﹣4× ×（ ﹣n）＞0，

解得n＞4．

又M，N在第一象限，

∴m1m2=4（ ﹣n）＞0，

解得n＜ ，

∴n的取值范圍是4＜n＜

【解析】（1）將點P（6，﹣9）的坐標代入y=ax2 ， 即可求出a的值；（2）將y=kx﹣m代入y=﹣ x2 ， 得 x2+kx﹣m=0，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及根與系數(shù)的關系得出y1=﹣ x12 ， y2=﹣ x22 ， x1x2=﹣4m，那么y1y2=m2 ． 當∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．證明△AOM∽△OBN，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出y1y2=﹣x1x2 ， 依此列出關于m的方程，求出m的值，進而得出當∠AOB＜90°時，m的取值范圍；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出直線y=x是線段MN的垂直平分線，如圖2，設直線MN的解析式為y=﹣x+b，與平移后的拋物線y=﹣ （x﹣1）2+n交于M、N兩點，交x軸于E點，分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，設M（m1 ， n1），N（m2 ， n2）．利用AAS證明△OMG≌△ONH，得出MG=HN，即MG=HE．將y=﹣ （x﹣1）2+n代入y=﹣x+b得： x2﹣ x+ +b﹣n=0，由根與系數(shù)的關系得m1+m2=6，則b=6，那么 x2﹣ x+ ﹣n=0，再根據(jù)△＞0以及M，N在第一象限分別列出不等式，進而求出n的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�