Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)全等的直角三角形的直角頂點(diǎn)及一條直角邊重合，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B、點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，∠AOC=60°，OA=4

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
（2）如圖（2），將△ACB繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到△A′CB′的位置，其中A′C交直線OA于E，則直線CE的解析式為______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在Rt△ACO中，根據(jù)∠AOC=60°解直角三角形可以得到OA，OC的長(zhǎng)，然后就可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）可證△COE為等邊三角形，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，解直角三角形求E點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線CE的解析式；
（3）由CE=CO=2，A′C=AC=2，得到A′E=AN=2-2，解Rt△AMN，求AM，MN，用S_{四邊形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN，求解．
解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ECO=90°-∠ACA′=60°，
又∵∠AOC=60°，
∴△COE為等邊三角形，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，

在Rt△OEF中，
∵∠AOC=60°，
∴OF=FC=1，EF=，
將C（-2，0），E（-1，）代入直線CE：y=kx+b中得
，
解得，
∴直線CE：y=x+2；

（3）∵CE=CO=2，A′C=AC=2，
∴A′E=AN=2-2，
在Rt△AMN中，MN=AN=-1，AM=MN=3-，
∴S_{四邊形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN
=×2×2-×2×-×（-1）×（3-）
=3-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，此題是開放性試題，把直角三角形、全等三角形，一次函數(shù)等知識(shí)綜合在一起，要求學(xué)生對(duì)這些知識(shí)比較熟練，利用幾何方法解決代數(shù)問題．