【題目】已知拋物線與x軸交于A(6,0)、B(,0)兩點,與y軸交于點C,過拋物線上點M(1,3)作MN⊥x軸于點N,連接OM.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個單位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F.

①當(dāng)點F為M′O′的中點時,求t的值;

②如圖2,若直線M′N′與拋物線相交于點G,過點G作GH∥M′O′交AC于點H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)1;t=2時,EH最大值為

【解析】

試題分析:(1)設(shè)拋物線解析式為,把點M(1,3)代入即可求出a,進而解決問題.

(2))①如圖1中,AC與OM交于點G.連接EO′,首先證明△AOC∽△MNO,推出OM⊥AC,在RT△EO′M′中,利用勾股定理列出方程即可解決問題.

②由△GHE∽△AOC得==,所以EG最大時,EH最大,構(gòu)建二次函數(shù)求出EG的最大值即可解決問題.

試題解析:(1)設(shè)拋物線解析式為,把點M(1,3)代入得a=,∴拋物線解析式為,∴

(2)①如圖1中,AC與OM交于點G.連接EO′.∵AO=6,OC=2,MN=3,ON=1,∴=3,∴,∵∠AOC=∠MON=90°,∴△AOC∽△MNO,∴∠OAC=∠NMO,∵∠NMO+∠MON=90°,∴∠MON+∠OAC=90°,∴∠AGO=90°,∴OM⊥AC,∵△M′N′O′是由△MNO平移所得,∴O′M′∥OM,∴O′M′⊥AC,∵M′F=FO′,∴EM′=EO′,∵EN′∥CO,∴,∴,∴EN′=(5﹣t),在RT△EO′M′中,∵O′N′=1,EN′=(5﹣t),EO′=EM′=,∴,∴t=1.

②如圖2中,∵GH∥O′M′,O′M′⊥AC,∴GH⊥AC,∴∠GHE=90°,∵∠EGH+∠HEG=90°,∠AEN′+∠OAC=90°,∠HEG=∠AEN′,∴∠OAC=∠HGE,∵∠GHE=∠AOC=90°,∴△GHE∽△AOC,∴,∴EG最大時,EH最大,∵EG=GN′﹣EN′===,t=2時,EG最大值=,∴EH最大值=t=2時,EH最大值為

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(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)景點工作人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍.

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【題目】如圖5,點P在正△ABC內(nèi)一點,∠APB=125°, ∠BPC=100°,則以AP,BP,CP為邊長的三角形各內(nèi)角的度數(shù)為________.

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年齡

13

14

15

人數(shù)

4

7

4

則該校女子排球隊隊員的平均年齡是歲.

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【題目】如圖1,點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(端點除外),點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的運動速度相同,連接AQ、CP交于點M.

(1)求證:△ABQ≌△CAP;

(2)當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,求出它的度數(shù).

(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動,直線AQ、CP交點為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).

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【題目】已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.

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(2)發(fā)現(xiàn)探究:若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

(3)拓展運用:如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度數(shù).

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