Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線AC、BD相交于O，∠AOD=120°，點S、P、Q分別為OD、OA、BC的中點．
（1）判斷△SPQ的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；
（3）

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，求

CD

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）連接SC、PB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線可判斷出答案．
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及∠AOD=120°可求出等邊三角形的邊長，從而可得出答案．
（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），根據(jù)題意表示出兩面積的比，從而可得出答案．

解答：解：（1）連接SC、PB，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，
而∠AOD=120°，則∠DOC=60°，
∴△ODC是等邊三角形，
∵S為OD的中點，
∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，
又∵Q為BC的中點，即SQ為Rt△BSC斜邊上的中線，
∴PS=

1

2

AD，SQ=

1

2

BC，PQ=

1

2

BC，
故可得△SPQ是等邊三角形；

（2）作DE⊥AB，垂足為E，
∵AB=5，CD=3，
∴AE=

5-3

2

=1，BE=5-1=4，
∴DE=BE•tan60°=4

3

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=7，
∴PS=PQ=SQ=

7

2

，
∴S_△PQS=

49 3

16

；

（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=(

3

2

a)2+(b+

a

2

)2=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，S_△AOD=S_△BOC=

1

2

CS×OB=

1

2

×

3

2

a×b=

3

4

ab，
∴8×

3

16

（a²+ab+b²）=7×

3

4

ab，
即2a²-5ab+2b²=0，
∴（a-2b）（2a-b）=0，
∴a=2b（不合題意舍去）或2a=b，
∴化簡得

a

b

=

1

2

，
故

CD

AB

=

1

2

．

點評：本題考查等腰梯形及等邊三角形的知識，難度較大，注意一些基本知識的掌握，這是解答綜合題的關(guān)鍵．