Question

如圖，O為△ABC內一點，把AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG．
（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請說明理由；
（2）若四邊形DEFG是矩形，點0所在位置應滿足什么條件？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用三角形中位線定理求解，易知DG、EF分別是△ABC和△BOC的中位線，那么DG、EF都平行且相等于BC，即DG與EF平行且相等，由此可證得四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）連接OA，則DE∥OA∥GF；若四邊形DEFG是矩形，則DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判斷出O點所處的位置．
解答：解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形．理由如下：
∵D、G分別是AB、AC的中點，
∴DG是△ABC的中位線；
∴DG∥BC，且DG=BC；
同理可證：EF∥BC，且EF=BC；
∴DG∥EF，且DG=EF；
故四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）O在BC邊的高上（且不與點A和垂足重合）理由如下：
連接OA；
∵把AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG．
∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，
∵O點在BC邊的高上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥EF，
∵DE∥OA，
∴DE⊥EF，
∴四邊形DEFG是矩形．
點評：本題考查的是平行四邊形、矩形的判定和性質以及三角形中位線定理的應用．