Question

如圖①，△ABC中，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于D．
（1）若∠D=50°，求∠A的度數(shù)；
（2）探究∠A與∠D之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖②，連結(jié)AD，求證：AD平分∠BAC．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠CAB+∠CBA的度數(shù)，則可得出∠EAB+∠FBA的度數(shù)，又AD、BD是△ABC的外角平分線，所以，可得∠DAB+∠DBA的度數(shù)，即可得到∠D的度數(shù)；
（2）根據(jù)題（1）的推導(dǎo)過程，可得出∠A與∠D之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）分別過D作DM、DN、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為M、N、G，然后利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知DM=DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明．

解答：（1）解：∵∠D=50°，
∴∠BCD+∠CBD=130°，
∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于D，
∴∠BCE=2∠BCD，∠CBF=2∠CBD，
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=2（∠BCD+∠CBD）=260°，
∴∠ACB+∠ABC=（180°-∠BCE）+（180°-∠CBF）=360°-（∠BCE+∠CBF）=100°，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°；

（2）解：由題意可得，∠BCD+∠CBD=180°-∠D，
∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于D，
∴∠BCE=2∠BCD，∠CBF=2∠CBD，
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=2（∠BCD+∠CBD）=360°-2∠D，
∴∠ACB+∠ABC=（180°-∠BCE）+（180°-∠CBF）=360°-（360°-2∠D）=2∠D，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-2∠D，
即∠A=180°-2∠D；

（3）證明：分別過D作DM、DN、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為M、N、G，
∵BD平分∠CBF，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∴DM=DN．
同理DG=DN，
∴DM=DG，
∴點D在∠BAC平分線上，
∴AD平分∠BAC．

點評：本題主要考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)及判定：
（1）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．
（2）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
（3）角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．