Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求⊙O的周長(zhǎng)；
（3）連接AD，求證：DB=DA+DC．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC與∠BDC是所對(duì)的圓周角，∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°．

（2）∵△ABC中，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，圓心O是△ABC的內(nèi)心，
連接OB，OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，則BE=BC=×2=，∠OBE=30°，
∴OB===2，
∴⊙O的周長(zhǎng)=2π•OB=2π×2=4π．

（3）連接AD并延長(zhǎng)至E，使DE=CD，連接CE，
∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∴△CDE是等邊三角形，∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠DAC與∠DBC是同弧所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠DBC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∴△DBC≌△CAE，
∴BD=AE，即DB=DA+DC．
分析：（1）根據(jù)∠BAC與∠BDC是同弧所對(duì)的圓周角即可解答；
（2）根據(jù)已知條件判斷出△ABC是等邊三角形，連接OB，OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，根據(jù)垂徑定理可求出BE的長(zhǎng)，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求出OB的長(zhǎng)，由圓的周長(zhǎng)公式即可求解；
（3）連接AD并延長(zhǎng)至F，使DE=CD，由圓周角定理及平角的性質(zhì)可得出△CDE是等邊三角形，再由ASA定理
可得△DBC≌△CAE，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，考查的是圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、全等三角形的判定定理及性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相應(yīng)的三角形是解答此題的關(guān)鍵．