Question

已知：拋物線y=ax²-2ax+c-1的頂點A在一次函數(shù)y=-x+8的圖象上，該拋物線與x軸交于B、C兩點（B在C的左側(cè)），且過點D（0，4）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設H為線段OC上一點，過點H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面積等于，求直線HK的解析式；
（3）在（2）問的基礎上拋物線上是否存在一點P，過點P作PQ⊥x軸，交直線HK于Q，使點A、H、P、Q為等腰梯形的四個頂點？若存在求P點的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸：x=1，則頂點A（1，），依題意，有：
，
解得
故拋物線的解析式：y=-x²+x+4．

（2）由（1）知，拋物線的頂點A（1，），過K作KM⊥x軸于M；
∵KH∥BD，
∴∠DBO=∠KHM
又∵∠DOB=∠KMH=90°，
∴Rt△DOB∽Rt△KMH，
∴==4，設HM=m，則KM=4m；（m＞0）
在Rt△CKM中，tan∠KCM=，CM=KM÷tan∠KCM=m；
∴S_△CHK=×（m+m）×4m=，解得：m=
則：CH=m=2，KM=4m=，OH=OC-CH=1，OM=OC-CM=
即：H（1，0）、K（，）；
設直線HK：y=kx+b，代入點H、K的坐標，得：
，
解得
故直線HK的解析式：y=4x-4．

（3）由A（1，）、H（1，0）知，AH∥y軸；
而PQ⊥x軸，即PQ∥y軸，所以AH∥PQ，若以A、H、P、Q為頂點的四邊形為等腰梯形，則AH、PQ為底（如右圖），
此時，點P必在拋物線對稱軸的右側(cè)，且Rt△AFQ≌Rt△HGP，則有：|y_Q-y_A|=|y_P|
設P（x，-x²+x+4），則Q（x，4x-4），（x＞1），可列等式：
|4x-4-|=|-x²+x+4|，
解得：x=4
則P（4，-）、Q（4，12），PQ＞AH；
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為（4，-）．
分析：（1）由拋物線的解析式不難確定對稱軸的坐標，代入一次函數(shù)的解析式中，即可得二次函數(shù)的頂點坐標，再結(jié)合點D的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式．
（2）過K作KM⊥x軸于M，由于HK∥BD，可判定△BOD∽△HMK，若設HM=m，根據(jù)HM、MK的比例關系即可得出MK的長度表達式，進而在Rt△CMK中，由∠OCA的正切值可求出CM的長，則HC的長可得，已知△HKC的面積，即可得到m的值，進而可求出H、K的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線HK的解析式．
（3）由（2）的計算結(jié)果不難看出AH恰好與y軸平行，而PQ也和y軸平行，即AH∥PQ，若以A、H、P、Q為頂點的四邊形是等腰梯形，那么AH、PQ必為梯形的上下底，因此A、P兩點的縱坐標差的絕對值應等于點Q到x軸的距離（或Q、H縱坐標差的絕對值），可據(jù)此來列出等式求出P點的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、相似三角形和全等三角形的應用以及等腰梯形的判定和性質(zhì)；在判定等腰梯形時，一定要注意平行的一組邊不能相等，這個條件是容易被忽視的地方．