解:(1)拋物線的對稱軸:x=1,則頂點A(1,

),依題意,有:

,
解得

故拋物線的解析式:y=-

x
2+

x+4.

(2)由(1)知,拋物線的頂點A(1,

),過K作KM⊥x軸于M;
∵KH∥BD,
∴∠DBO=∠KHM
又∵∠DOB=∠KMH=90°,
∴Rt△DOB∽Rt△KMH,
∴

=

=4,設HM=m,則KM=4m;(m>0)
在Rt△CKM中,tan∠KCM=

,CM=KM÷tan∠KCM=

m;
∴S
△CHK=

×(m+

m)×4m=

,解得:m=

則:CH=

m=2,KM=4m=

,OH=OC-CH=1,OM=OC-CM=

即:H(1,0)、K(

,

);
設直線HK:y=kx+b,代入點H、K的坐標,得:

,

解得

故直線HK的解析式:y=4x-4.
(3)由A(1,

)、H(1,0)知,AH∥y軸;
而PQ⊥x軸,即PQ∥y軸,所以AH∥PQ,若以A、H、P、Q為頂點的四邊形為等腰梯形,則AH、PQ為底(如右圖),
此時,點P必在拋物線對稱軸的右側(cè),且Rt△AFQ≌Rt△HGP,則有:|y
Q-y
A|=|y
P|
設P(x,-

x
2+

x+4),則Q(x,4x-4),(x>1),可列等式:
|4x-4-

|=|-

x
2+

x+4|,
解得:x=4
則P(4,-

)、Q(4,12),PQ>AH;
綜上,存在符合條件的P點,且坐標為(4,-

).
分析:(1)由拋物線的解析式不難確定對稱軸的坐標,代入一次函數(shù)的解析式中,即可得二次函數(shù)的頂點坐標,再結(jié)合點D的坐標,利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式.
(2)過K作KM⊥x軸于M,由于HK∥BD,可判定△BOD∽△HMK,若設HM=m,根據(jù)HM、MK的比例關系即可得出MK的長度表達式,進而在Rt△CMK中,由∠OCA的正切值可求出CM的長,則HC的長可得,已知△HKC的面積,即可得到m的值,進而可求出H、K的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出直線HK的解析式.
(3)由(2)的計算結(jié)果不難看出AH恰好與y軸平行,而PQ也和y軸平行,即AH∥PQ,若以A、H、P、Q為頂點的四邊形是等腰梯形,那么AH、PQ必為梯形的上下底,因此A、P兩點的縱坐標差的絕對值應等于點Q到x軸的距離(或Q、H縱坐標差的絕對值),可據(jù)此來列出等式求出P點的坐標.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、相似三角形和全等三角形的應用以及等腰梯形的判定和性質(zhì);在判定等腰梯形時,一定要注意平行的一組邊不能相等,這個條件是容易被忽視的地方.