【題目】如圖△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BM是AC邊的中線,作AD⊥BM,垂足為點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,且AH平分∠BAC交BM于N,交BC于H,連接DM,則下列結(jié)論:①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC=DC中,正確的有( )個(gè)
A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)
【答案】B
【解析】
如圖,過點(diǎn)C作KC⊥CA交AD的延長(zhǎng)線于K,首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BHN≌△AHD,得到HN=HD,BN=AD,∠BNH=∠ADH=∠CDK,可判斷②③正確,然后利用同角的余角相等得到∠ABM=∠CAK,進(jìn)而證明△ABM≌△CAK,得到∠AMB=∠K,AM=CK=CM,然后證明△CDM≌△CDK,得到∠CDK=∠CDM,∠K=∠CMD,等量代換可得∠AMB=∠CMD,∠BNH=∠MDC,可判斷①④正確,而條件不足,無法證明MC=DC,故⑤錯(cuò)誤.
解:如圖,過點(diǎn)C作KC⊥CA交AD的延長(zhǎng)線于K.
∵AB=AC,∠BAC=90°,AH平分∠BAC,
∴AH⊥BC,BH=CH,
∴AH=BH=CH,
∵AD⊥BM,
∴∠BHN=∠AEN=∠AHD=90°,
∵∠BNH=∠ANE,
∴∠HBN=∠DAH,
∴△BHN≌△AHD(ASA),
∴HN=HD,BN=AD,∠BNH=∠ADH=∠CDK,故②③正確,
∵∠BAM=∠ACK=90°,
∴∠BAE+∠CAK=90°,
∵∠BAE+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠CAK,
∵AB=AC,
∴△ABM≌△CAK(ASA),
∴∠AMB=∠K,AM=CK=CM,
∵∠DCM=∠DCK=45°,CD=CD,
∴△CDM≌△CDK(SAS),
∴∠CDK=∠CDM,∠K=∠CMD,
∴∠AMB=∠CMD,∠BNH=∠MDC,故①④正確,
由于條件不足,無法證明MC=DC,故⑤錯(cuò)誤,
故選:B.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長(zhǎng)線于M,∠A=40°.
⑴求∠NMB的大;
⑵若將圖中的∠A的度數(shù)改為70°,其余條件不變,則∠NMB= ;
⑶你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律?若將∠A改為鈍角,對(duì)這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),決定開設(shè)以下體育課外活動(dòng)項(xiàng)目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人;
(2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖(2)補(bǔ)充完整;
(3)在平時(shí)的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D為 AC邊上一點(diǎn),以BD為邊作等邊△BDE, 連接CE.若CD=1,CE=3,則BC=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如圖1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,當(dāng)∠BAC+∠DAE=180° 時(shí),我們稱△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”,△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.
(1)特例感知:在圖2,圖3中,△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”,AM是“頂心距”。
①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM= DE;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=120°,ED=6時(shí),AM的長(zhǎng)為 。
(2)猜想論證:
在圖1中,當(dāng)∠BAC為任意角時(shí),猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明。
(3)拓展應(yīng)用
如圖4,在四邊形ABCD中,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,CA=,在四邊ABCD的內(nèi)部找到點(diǎn)P,使得△PAD與△PBC互為“頂補(bǔ)等腰三角形”。并回答下列問題。
①請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P的位置,并描述出該點(diǎn)的位置為 ;
②直接寫出△PBC的“頂心距”的長(zhǎng)為 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明調(diào)查了班級(jí)里20位同學(xué)本學(xué)期購(gòu)買課外書的花費(fèi)情況,并將結(jié)果繪制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖.在這20位同學(xué)中,本學(xué)期購(gòu)買課外書的花費(fèi)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A. 50,50 B. 50,30 C. 80,50 D. 30,50
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要證明△ABC≌△DEF,需要添加一個(gè)條件為_______(只添加一個(gè)條件即可);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了更好治理河流水質(zhì),保護(hù)環(huán)境,某市治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備,現(xiàn)有A,B兩種型號(hào)的設(shè)備,其中每臺(tái)的價(jià)格,月處理污水量如表:
A型 | B型 | |
價(jià)格(萬元/臺(tái)) | a | b |
處理污水量(噸/月) | 220 | 180 |
經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多3萬元,購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少3萬元.
(1)求a,b的值;
(2)經(jīng)預(yù)算:市治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過100萬元,你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案;
(3)在(2)問的條件下,若每月要求處理的污水量不低于1880噸,為了節(jié)約資金,請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),過點(diǎn)作射線,過點(diǎn)作 于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求證: 為等邊三角形.
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