【題目】如圖1、2,已知四邊形ABCD為正方形,在射線AC上有一動點P,作PE⊥AD(或延長線)于E,作PF⊥DC(或延長線)于F,作射線BP交EF于G.
(1)在圖1中,設(shè)正方形ABCD的邊長為2,四邊形ABFE的面積為y,AP=x,求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)結(jié)論:GB⊥EF對圖1,圖2都是成立的,請任選一圖形給出證明;
(3)請根據(jù)圖2證明:△FGC∽△PFB.
【答案】(1)y=x2+2;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意得出S四邊形ABFE=4﹣ED×DF﹣BC×FC進而得出答案;
(2)首先利用正方形的性質(zhì)進而證明△FPE≌△BHP(SAS),即可得出△FPG∽△BPH,求出即可;
(3)首先得出△DPC≌△BPC(SAS),進而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB.
試題解析:(1)解:∵PE⊥AD,PF⊥DC,
∴四邊形EPFD是矩形,
∵AP=x,
∴AE=EP=DF=x,
DE=PF=FC=2﹣x,
∴S四邊形ABFE=4﹣EDDF﹣BCFC=x2+2;
(2)證明:如圖1,延長FP交AB于H,
∵PF⊥DC,PE⊥AD,
∴PF⊥PE,PH⊥HB,
即∠BHP=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC平分∠DAB,
∴可得PF=FC=HB,EP=PH,
在△FPE與△BHP中
,
∴△FPE≌△BHP(SAS),
∴∠PFE=∠PBH,
又∵∠FPG=∠BPH,
∴△FPG∽△BPH,
∴∠FGP=∠BHP=90°,
即GB⊥EF;
(3)證明:如圖2,連接PD,
∵GB⊥EF,
∴∠BPF=∠CFG①,
在△DPC和△BPC中
,
∴△DPC≌△BPC(SAS),
∴PD=PB,
而PD=EF,∴EF=PB,
又∵GB⊥EF,
∴PF2=FGEF,
∴PF2=FGPB,
而PF=FC,
∴PFFC=FGPB,
∴②,
∴由①②得△FGC∽△PFB.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像分別交y軸、x軸交于點A、B,點P從點B出發(fā),沿射線BA以每秒1個單位的速度出發(fā),設(shè)點P的運動時間為t秒.
(1)點P在運動過程中,若某一時刻,△OPA的面積為6,求此時P的坐標;
(2)在整個運動過程中,當t為何值時,△AOP為等腰三角形?(只需寫出t的值,無需解答過程)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,有理數(shù) a,b,c 分別對應(yīng)數(shù)軸上的點 A,B,C,若a 2|b 4| 0 ,關(guān)于 x、y 的單項式3(c 3)x y與 yx 是同類項. 我們把數(shù)軸上兩點之間的距離用表示兩點的大寫字母一起標記,例如,點 A 與點 B 間的距離記作 AB.
(1)求 a,b,c 的值;
(2)點 P 從 C 點出發(fā)以每秒 1 個單位長度在數(shù)軸上按以下規(guī)律往返運動:第一回合,從點 C 到點 B 到點 A 回到點 C;第二回合,從點 C 到 BC 的中點 D 到 CA 的中點 D1 回到點 C;第三回合,從點 C 到 CD 的中點 D2 到 CD1 的中點 D3 回到點 C……,如此循環(huán)下去,若第 t 秒時滿足 PB+2PC=AC+1,求 t 的最大值;
(3)在(2)的條件下,P 點第一次從 C 點出發(fā)的同時,數(shù)軸上的動點 M、N 分別從 A 點和 B 點向右運動,速度分別為每秒 1 個單位長度和每秒 2 個單位長度,P 點完成第一個回合后停止在 C 點,當 MP=2MN 時, t 的值是 (直接填答案)
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【題目】在數(shù)軸上,點A對應(yīng)的數(shù)是-6,點B對應(yīng)的數(shù)是-2,點O對應(yīng)的數(shù)是0.動點P、Q分別從A、B同時出發(fā),以每秒3個單位,每秒1個單位的速度向右運動。在運動過程中,線段PQ的長度始終是另一線段長的整數(shù)倍,這條線段是( )
A.PBB.OPC.OQD.QB
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【題目】如圖,有一塊含30°角的直角三角板OAB的直角邊BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等,把這兩塊三角板放置在平面直角坐標系中,且OB=3.
(1)若某反比例函數(shù)的圖象的一個分支恰好經(jīng)過點A,求這個反比例函數(shù)的解析式;
(2)若把含30°角的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,斜邊OA恰好落在x軸上,點A落在點A′處,試求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=;(2)S陰影=6π-.
【解析】分析:(1)根據(jù)tan30°=,求出AB,進而求出OA,得出A的坐標,設(shè)過A的雙曲線的解析式是y=,把A的坐標代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積,求出OD、DC長,求出△ODC的面積,相減即可求出答案.
本題解析:
(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,
∴AB=OB·tan 30°=3.
∴點A的坐標為(3,3).
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0),
∴3=,∴k=9,則這個反比例函數(shù)的解析式為y=.
(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin ∠AOB=,即sin 30°=,
∴OA=6.
由題意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′==6π.
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC·cos 45°=3×=.
∴S△ODC=OD2==.
∴S陰影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-.
點睛:本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積及等腰三角形的性質(zhì),本題屬于中檔題,難度不大,將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個規(guī)則圖形的面積之和是解答本題的關(guān)鍵.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處.
(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP,OP,OA.
① 求證:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.
(2)如圖②,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點M在線段AP上(不與點P,A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問動點M,N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,說明理由.
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【題目】問題解決:如圖1,△ABC中,AF為BC邊上的中線,則S△ABF= S△ABC.
問題探究:
(1)如圖2,CD,BE分別是△ABC的中線,S△BOC與S四邊形ADOE相等嗎?
解:△ABC中,由問題解決的結(jié)論可得,S△BCD=S△ABC,S△ABE=S△ABC.
∴S△BCD=S△ABE
∴S△BCD﹣S△BOD=S△ABE﹣S△BOD
即S△BOC=S四邊形ADOE.
(2)圖2中,仿照(1)的方法,試說明S△BOD=S△COE.
(3)如圖3,CD,BE,AF分別是△ABC的中線,則S△BOC= S△ABC,S△AOE= S△ABC,S△BOD= S△ABF.
問題拓展:
(4)①如圖4,E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點,請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系:S陰影= S四邊形ABCD.
②如圖5,E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AD、BC、AB、CD的中點,請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系:S陰影= S四邊形ABCD.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)請在線段BC上作一點D,使點D到邊AC、AB的距離相等(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,若AC=6,BC=8,請求出CD的長度.
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【題目】某片果園有果樹80棵,現(xiàn)準備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少,單棵樹的產(chǎn)量隨之降低,若該果園每棵果樹產(chǎn)果y千克,增種果樹x棵,它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時,果園可以收獲果實6750千克?
(3)當增種果樹多少棵時,果園的總產(chǎn)量w(千克)最大?最大產(chǎn)量是多少?
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