Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（-1，0）、（4，0）．P是線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、C不重合），過點(diǎn)P的直線x=t與AC相交于點(diǎn)Q．設(shè)四邊形ABPQ關(guān)于直線x=t的對(duì)稱的圖形與△QPC重疊部分的面積為S．
（1）點(diǎn)B關(guān)于直線x=t的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為

 

；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B和B′關(guān)于x=t對(duì)稱，則設(shè)B′橫坐標(biāo)為a，根據(jù)B、B′的橫坐標(biāo)之和的一半為對(duì)稱軸即可解答；
（2）根據(jù)1.5≤t≤4時(shí)和0＜t＜1.5時(shí)圖形的不同，分兩種情況得出重合圖形的面積表達(dá)式，即為S與t的表達(dá)式．

解答：解：（1）設(shè)B′橫坐標(biāo)為a，
則

-1+a

2

=t，
解得a=2t+1．
故B′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t+1，0）．

（2）①如圖，當(dāng)1.5≤t＜4時(shí)，重合部分為三角形，
∵△CPQ∽△COA，
∵

PC

OC

=

PQ

AO

，
即

4-t

4

=

PQ

2

，
則PQ=

4-t

2

．
于是S=

1

2

（4-t）

4-t

2

=

(4-t)2

4

（1.5≤t＜4），

②如圖，0＜t＜1.5時(shí)，重合部分為四邊形，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，2），
又∵B′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t+1，0），
設(shè)直線A′B′解析式為y=kx+b，則將A′（2t，2），
和B′（2t+1，0）分別代入解析式得，

2tk+b=2 (2t+1)k+b=0

，
解得k=-2，b=2+4t．
解析式為y=-2x+（2+4t），
設(shè)直線AC解析式為y=mx+n，將A（0，2），C（4，0）分別代入解析式得，

n=2 4m+n=0

，
解得4m+2=0，m=-

1

2

．
解析式為y=-

1

2

x+2．
將y=-

1

2

x+2和y=-2x+（2+4t）組成方程組得

y=- 1 2 x+2 y=-2x+(2+4t)

得

x= 8t 3 y= 6-4t 3

，
D點(diǎn)坐標(biāo)為（

8t

3

，

6-4t

3

）．
由于B′坐標(biāo)為（2t+1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
故B′C=4-（2t+1）=3-2t，
∴S=S_{四邊形QPB'D}=S_△QPC-S_△DB'C=-

13t 2

12

+2t+1（0＜t＜1.5）．

點(diǎn)評(píng)：此題以動(dòng)點(diǎn)問題的形式考查了相似三角形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要充分結(jié)合圖形特征，找到圖中的重合部分，并根據(jù)不同情況進(jìn)行解答．