Question

【題目】小明將兩個(gè)全等的等腰三角板擺放在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE＝12．

（1）如圖1，當(dāng)D與C點(diǎn)重合時(shí)，CF、CE分別與AB交于M、N兩點(diǎn)，且量得AM＝3，BN＝4，小明發(fā)現(xiàn)AM、MN、BN存在某種數(shù)量關(guān)系，他想：當(dāng)AM＝a，BN＝b，MN＝c時(shí)，這種數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？請(qǐng)你一起探究并證明這個(gè)結(jié)論；

（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊?/span>Rt△DEF的頂點(diǎn)D恰好在AB的中點(diǎn)處時(shí)，DE、DF分別與AC、BC交于M、N，小明經(jīng)測(cè)量后猜想，AMBN是一個(gè)定值．你認(rèn)可他的猜想嗎？說(shuō)明理由，若猜想成立，請(qǐng)求出該定值．

（3）在（2）的條件下，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF所在的直線分別交線段AC和線段BC于點(diǎn)M、N，若CN＝2，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）猜想：當(dāng)AM＝a，BN＝b，MN＝c時(shí)，有a2+b2＝c2．，證明詳見解析；（2）小明的猜想正確，理由詳見解析；（3）MN的長(zhǎng)為 ．

【解析】

（1）由小明量得的數(shù)據(jù)可猜想當(dāng)AM=a，BN=b，MN=c時(shí)，有a2+b2=c2．可過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AB，并使得BG=AM，連接CG、GN，從而將AM、NB歸結(jié)到Rt△NBG中，只需證MN=GN，只需證△MCN≌△GCN，只需證∠MCN=∠NCG，CM=CG，只需證△AMC≌△BGC即可．

（2）由∠A=∠EDF=∠B=45°可證△AMD∽△BDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AMBN=ADBD=36，從而解決問(wèn)題．

（3）由條件可求出CA、CB的長(zhǎng)，然后由CN可求出BN，再借用（2）中的結(jié)論可求出AM，從而可求出CM，在Rt△MCN中運(yùn)用勾股定理就可解決問(wèn)題．

解：（1）∵AM＝3，BN＝4，AB＝12，

∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣3﹣4＝5，

∴AM2+BN2＝MN2．

猜想：當(dāng)AM＝a，BN＝b，MN＝c時(shí)，有a2+b2＝c2．

理由如下：

過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AB，并使得BG＝AM，連接CG、GN，如圖1，

則有∠ABG＝90°．

∵∠ABC＝45°，

∴∠GBC＝45°．

在△AMC和△BGC中，

，

∴△AMC≌△BGC（SAS），

∴CM＝CG，∠ACM＝∠BCG，

∴∠MCG＝∠ACB＝90°．

∵∠MCN＝45°，

∴∠NCG＝∠MCG﹣∠MCN＝45°，

∴∠MCN＝∠NCG．

在△MCN和△GCN中，

，

∴△MCN≌△GCN（SAS），

∴MN＝GN．

在Rt△NBG中，

∵∠NBG＝90°，

∴BN2+BG2＝GN2，

∴BN2+AM2＝MN2．

（2）小明的猜想正確．

理由如下：

如圖2，

由題可得∠A＝∠MDN＝∠B＝45°，

∵∠MDB＝∠A+∠AMD＝∠MDN+∠NDB，

∴∠AMD＝∠NDB，

∴△AMD∽△BDN，

∴＝，

∴AMBN＝ADBD．

∵D為AB的中點(diǎn)，AB＝12，

∴AD＝BD＝6，

∴AMBN＝36．

∴AMBN是一個(gè)定值，該定值為36．

（3）連接MN，如圖3，

在Rt△ACB中，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝12，

∴AC＝BC＝6．

∵CN＝2，∴BN＝4．

∵AMBN＝36．

∴AM＝，

∴CM＝CA﹣AM＝6﹣＝．

在Rt△MCN中，

∵∠C＝90°，

∴MN2＝CM2+CN2＝（）2+（2）2

＝. +8＝，

∴MN＝．

∴MN的長(zhǎng)為．