Question

點E是矩形ABCD的DC邊上任意一點，AE的延長線交BC的延長線于點F，直線BE交△CEF外接圓⊙O于點G，連接CG、FG．
（1）求證：△ABE∽△GFC；
（2）若DE：CE=2：3，BH切⊙O于點H，且BH=2

10

，求BC長；
（3）在（2）的條件下，若AB=BE，求⊙O面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由對頂角相等得∠AEB=∠GEF，再由圓周角定理得∠GEF=∠GCF，則∠AEB=∠GCF，利用AB∥CD得∠BAE=∠CEF，由圓周角定理得∠CEF=∠CGF，則∠BAE=∠CGF，于是可根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABE∽△GFC；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD∥BC，AD=BC，則可得到△ADE∽△FCE，利用相似比得

AD

CF

=

2

3

，所以

BC

CF

=

2

3

，設(shè)BC=2a，則CF=3a，BF=5a，再利用切割線定理得到（2

10

）²=2a•5a，解得a=2，所以CF=6，BC=4；
（3）設(shè)DE=2t，則CE=3t，DC=5t，利用矩形的性質(zhì)得AB=CD=5t，則BA=BE=5t，在Rt△BCE中利用勾股定理計算出BC=4t，則4t=4，解得t=1，所以EC=3，
再在Rt△CEF中利用勾股定理計算出EF=3

5

，由于∠ECF=90°，根據(jù)圓周角定理得到EF為⊙O的直徑，于是得到⊙O的半徑=

3 5

2

，然后根據(jù)圓的面積公式求解．

解答：（1）證明：∵∠AEB=∠GEF，
而∠GEF=∠GCF，
∴∠AEB=∠GCF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠CEF，
而∠CEF=∠CGF，
∴∠BAE=∠CGF，
∴△ABE∽△GFC；
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴△ADE∽△FCE，
∴

AD

CF

=

DE

EC

=

2

3

，
∴

BC

CF

=

2

3

，
設(shè)BC=2a，則CF=3a，BF=5a，
∵BH切⊙O于點H，
∴BH²=BC•BF，即（2

10

）²=2a•5a，解得a=2，
∴CF=6，BC=4；
（3）解：設(shè)DE=2t，則CE=3t，DC=5t，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=5t，
∵BA=BE，
∴BE=5t，
在Rt△BCE中，BE=5t，CE=3t，
∴BC=

BE2-CE2

=4t，
∴4t=4，解得t=1，
∴EC=3，
在Rt△CEF中，CF=6，CE=3，
∴EF=

CF2+CE2

=3

5

，
∵∠ECF=90°，
∴EF為⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑=

3 5

2

，
∴⊙O面積=π•（

3 5

2

）²=

45π

4

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切割線定理三角形相似的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會勾股定理和相似比進行幾何計算．