【題目】如圖,△ABC中,AB⊥BC,BF=CF,∠C=30°,D是AC的中點(diǎn),E是CD的中點(diǎn),連接BE,AF交于G,連接DG.
(1)若E到BC的距離為2,求AB的長;
(2)證明:GD平分∠AGE;
(3)猜想BG,FG,GD,AF的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)AB=8;(2)見解析;(3)AF=GB+GD+GF,見解析.
【解析】
(1)如圖1中,作EH⊥BC于H.利用平行線分線段成比例定理即可解決問題;
(2)如圖1中,連接BD,DF,DM⊥AF于M,DN⊥BE于N.利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,面積相等,根據(jù)三角形面積公式即可證明DM=DN;
(3)結(jié)論:AF=GB+GD+GF.如圖2中,連接BD,DF,在GA上取一點(diǎn)M,使得GM=GD.利用全等三角形的性質(zhì)證明GA=GB+GD,GE=GD+GF即可解決問題.
(1)如圖1中,作EH⊥BC于H.
∵AB⊥BC,EH⊥BC,∴EH∥AB,∴.
∵AD=DC,DE=EC,∴EC:AC=1:4.
∵EH=2,∴,∴AB=8.
(2)如圖1中,連接BD,DF,DM⊥AF于M,DN⊥BE于N.
∵∠ABC=90°,AD=DC,∴BD=AD=DC.
∵∠C=30°,∴ABAC=AD=DC.
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等邊三角形,同法可證△DEF是等邊三角形,∴AD=DB,DF=DE,∠ADB=∠EDF=60°,∴∠ADF=∠BDE=120°,∴△ADF≌△BDE(SAS),∴AF=BE,S△ADF=S△BDE,∴AFDM=BEDN,∴DM=DN,∴DG平分∠AGE.
(3)結(jié)論:AF=GB+GD+GF.
理由:如圖2中,連接BD,DF,在GA上取一點(diǎn)M,使得GM=GD.
∵△ADF≌△△BDE,∴∠DAF=∠DBE,∴∠AGE=∠GBA+∠BAG=∠ABD+∠GBD+∠BAG=∠ABD+∠BAG+∠DAF=120°.
∵DG平分∠AGE,∴∠AGD=∠DGE=∠AGB=∠EGF=60°.
∵GM=GD,∴△DGM是等邊三角形,∴DM=DG,∠ADB=∠MDG=60°,∴∠ADM=∠BDG.
∵AD=BD,MD=GD,∴△AMD≌△BDG,∴BG=AM,∴AG=AM+GM=BG+DG,同法可證GE=DG+GF,∴AF=AG+FG=BG+DG+FG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為美化校園環(huán)境,某校計(jì)劃在一塊長為60米,寬為40米的長方形空地上修建一個(gè)長方形花圃,并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道,設(shè)通道寬為米.
(1)如果通道所占面積是整個(gè)長方形空地面積的,求出此時(shí)通道的寬;
(2)能否設(shè)計(jì)出符合題目要求,且長方形花圃的形狀與原長方形空地的形狀相似的花圃?若能,求出此時(shí)通道的寬;若不能,則說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D 為∠BAC 的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足 BD=CD, 過 D 作 DE⊥AC 于 E,DF⊥AB 交 BA 的延長線于 F,則下列結(jié)論:①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.其中正確的結(jié)論有______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A為∠MON內(nèi)部一定點(diǎn),點(diǎn)P、Q分別為射線OM,ON上的動(dòng)點(diǎn),若△APQ的周長最小時(shí),∠PAQ=40°,則∠MON=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)的圖象如圖所示,它與二次函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)(其中點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn).
求點(diǎn)的坐標(biāo);
設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為.
①若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,且的面積等于,求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
②若,且的面積等于,求此二次函數(shù)的關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:連接多邊形的對(duì)角線或在多邊形邊上(非頂點(diǎn))取一點(diǎn)或在多邊形內(nèi)部取一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線,能將多邊形分割成若干個(gè)小三角形,圖1給出了四邊形的具體分割方法,分別將四邊形分割成了個(gè)、個(gè)、個(gè)小三角形.
(1)請(qǐng)你按照上述方法將圖2中的六邊形進(jìn)行分割,并寫出每種方法所得到的小三角形的個(gè)數(shù)為 個(gè)、 個(gè), 個(gè)
(2)當(dāng)多邊形為邊形時(shí),按照上述方法進(jìn)行分割,寫出每種分法所得到的小三角形的個(gè)數(shù)為 個(gè)、 個(gè), 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,且,,且,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)、是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)、.
求點(diǎn)坐標(biāo);
求二次函數(shù)的解析式;
根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的的取值范圍.
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