Question

如圖，正方形OABC邊長為2，O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上．點(diǎn)P沿著正方形的邊，按O→A→B的順序運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，△OPB的面積為y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；
（2）探索：當(dāng)y=

1

4

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）是否存在經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）的直線平分正方形OABC的面積？如果存在，求出這條直線的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形面積公式建立起x和y之間的函數(shù)關(guān)系式，并分點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動時和點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時（不含點(diǎn)A）兩種情況討論；（2）將y=

1

4

代入求值即可；（3）先畫出圖形進(jìn)行猜想，然后利用三角形相似或正方形的對稱性求出直線所經(jīng)過的點(diǎn)，進(jìn)而求出解析式．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動時，如圖1，

y=

1

2

x×2，
即y=x，0＜x≤2；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時（不含點(diǎn)A），如圖2，
y=

1

2

（4-x）×2，
即y=-x+4，2＜x＜4；
（2）由題意可知：
①

1

4

=x，
此時，點(diǎn)P（

1

4

，0），
②

1

4

=-x+4，
x=

15

4

，
x-2=

7

4

．
此時，點(diǎn)P（2，

7

4

），
綜合（2）中的①，②可得P（

1

4

，0）或P（2，

7

4

）；

（3）如圖3，存在滿足條件的直線．
設(shè)這條直線的解析式為y=kx-1，
由于直線平分正方形OABC的面積，可得：OM=BN，延長AB，交直線與點(diǎn)H，
∵△POM≌△HBN，
∴BH=OP=1，
∴H（2，3），
由點(diǎn)H在直線上，得3=2k-1，
∴k=2，
∴所求直線的解析式為y=2x-1，
另法：由直線平分正方形AOCB的面積，
可知，直線過正方形AOCB的中心．
∴直線過（1，1）點(diǎn)，
∴直線的解析式為y=2x-1．

點(diǎn)評：此題將一次函數(shù)和正方形、三角形相結(jié)合并具有一定的開放性，考查了同學(xué)們對三角形面積公式、正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)的認(rèn)識，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)意識和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣．